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Du problématique rapport à l'expérience de la géométrie
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Les mathématiques ne font pas partie des sciences expérimentales. Nulle expérience, dans le sens de dispositif expérimental, ne vient infirmer ou confirmer la validité d'un théorème ; et, de même, nous ne pouvons faire l'expérience, au sens d'intuition sensible, d'un objet mathématique : ainsi peut-on présenter la représentation graphique d'une fonction, jamais la fonction elle-même.
Ces affirmations n'ont certes rien de révolutionnaire. Il est pourtant bon de le rappeler car les élèves ne perçoivent pas toujours bien les rapports qu'entretiennent les mathématiques avec le sensible. Ce problème est particulièrement patent en ce qui concerne la géométrie.
Il n'est pas rare de rencontrer quelques confusions entre les objets de la géométrie (un point, une droite, un plan) et la représentation sensible, et donc inexacte, que l'on peut s'en faire. Ainsi, il n'est jamais inutile de le rappeler, un point n'est pas « une toute petite tâche, vraiment très petite » et encore moins « un rond à peine visible », mais bien plutôt « ce qui n'a pas de partie ». Une telle caractérisation signale clairement que toute représentation sensible d'un objet géométrique est, par nature même, erronée.
Dès lors si le géomètre raisonne souvent sur des figures  toujours fausses ce n'est pas de la simple contemplation de ces figures que peuvent naître la certitude et la vérité d'un raisonnement. Ce n'est pas parce qu'il semble immédiatement vrai et évident que, dans le plan, par un point A extérieur à une droite D il passe une et une seule droite D' parallèle à la première, que cette affirmation est nécessairement et absolument vraie.
On aura reconnu ici l'énoncé de ce qu'il est convenu d'appeler l'axiome euclidien des parallèles et qui correspond au cinquième postulat dans les Éléments d'Euclide (ledit postulat est en fait exprimé d'une manière autre mais équivalente). Seule la représentation sensible nous incite à accepter comme une nécessité cette affirmation. C'est pourquoi de nombreux géomètres ont essayé, mais en vain, d'en trouver une démonstration à partir des quatre premiers postulats d'Euclide et d'en faire ainsi non plus un axiome mais un théorème. Parmi eux, le Russe Nicolaï Lobatchevski a pris le problème en raisonnant par l'absurde. Puisque le cinquième postulat était manifestement nécessairement vrai, il suffisait de le supposer faux pour voir apparaître toute une série de théorèmes contradictoires. Mais aucune contradiction n'apparut et Lobatchevski, en supposant que par un point extérieur à une droite, il passe plus d'une droite parallèle à la première (de là on démontre qu'il en passe une infinité), avait fondé (il publie ce résultat en 1835) une nouvelle géométrie, parfaitement consistante bien que contrariant l'expérience sensible. Quelques années après les travaux de Lobatchevski, le mathématicien allemand Georg Friedrich Riemann a élaboré une géométrie différente qui remplace l'axiome euclidien des parallèles par le suivant : « Dans le plan, par un point extérieur à une droite, il ne passe aucune droite parallèle à la première. » Pour caractériser les différentes géométries ainsi constituées on utilise la mesure de la courbure du plan ; ainsi pour l'espace euclidien la courbure du plan est-elle nulle, tandis que les espaces de Lobatchevski ne contiennent que des plans dont la courbure est en tout point négative et les espaces de Riemann des plans dont la courbure est en tout point positive.
Ainsi, non seulement il apparaît qu'il est possible (c'est-à-dire ici cohérent) de constituer une géométrie indépendante de la représentation sensible, mais on comprend aussi que l'évidence suggérée par la figure sensible a fait prendre pour une vérité absolue ce qui n'était qu'une option possible pour constituer une géométrie particulière, parmi d'autres. En d'autres termes l'immédiateté de la représentation sensible a en quelque sorte empêché de penser au-delà de la représentation sensible.
Pour autant, il ne faudrait pas croire que l'on se débarrasse aussi facilement de cette entrave du sensible et proposer une introduction aux géométries non euclidiennes n'est pas toujours suffisant. Encore faut-il veiller à ce que, à l'intérieur même de ces présentations, ne se glisse pas de nouveau ce que l'on pourrait appeler la tentation du sensible.
Il est par exemple courant de proposer, pour aborder la géométrie riemannienne, un modèle de représentation. Ainsi parle-t-on de géométrie sphérique et établit-on des équivalences avec la géométrie euclidienne : le plan devient une sphère, la droite du plan un grand cercle de la sphère et le point du plan un point de la sphère. De fait, sur le dessin, et selon ces équivalences, il apparaît clairement que par un point extérieur à une droite, il ne passe aucune parallèle à cette droite :
Mais a-t-on pour autant représenté un plan riemannien ? Certainement pas, puisque pour cela il faudrait que pour n'importe quel point du plan la mesure de la courbure soit toujours positive. Or nous avons ici représenté une sphère, surface qui, selon qu'on la regarde de l'extérieur ou de l'intérieur, possède une courbure soit positive, soit négative. Un plan de Riemann aurait, quant à lui, une courbure positive quel que soit le sens adopté pour l'observer. En d'autres termes, un tel plan ne possède tout simplement pas de modèle de représentation sensible correct.
À partir du moment où l'on comprend que vider les énoncés de la géométrie de tout contenu intuitif est une exigence principielle de la science du géomètre (contrairement à ce que semble suggérer l'étymologie du mot), il devient plus aisé d'admettre la nature idéale et non sensible des objets de la géométrie. La géométrie n'est peut-être, après tout, qu'un art qui consiste à se libérer de l'expérience sensible.
Pour en savoir plus
Pour une mise au point claire et précise sur les géométries non euclidiennes et le problème de la représentation sensible de telles géométries, on pourra se référer à l'ouvrage de Rudolph Carnap, Les Fondements philosophiques de la physique, Armand Colin, 1973, p. 131 sq.
On trouvera aussi un aperçu historique des géométries non euclidiennes sur le site de l'académie de Tours.
http://etab.ac-orleans-tours.fr/lyc-fvillon-beaugency/
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