Article rédigé par Yves Biton

Cet article reprend en grande partie celui qui est paru dans le numéro de décembre 2002 du bulletin vert de l'APMEP. Vous pouvez le télécharger en intégralité au format Word compressé (Theoreme.zip, 144 ko).

1. Comment ce résultat a-t-il été découvert ?

Je ne suis bien entendu pas sûr qu'il s'agisse d'une découverte, mais jusqu'à présent je n'ai rencontré personne connaissant ce résultat.
C'est en testant le logiciel MathGraph32, dont je suis l'auteur, que je suis tombé sur un résultat qui me semblait très curieux. J'avais eu l'idée de tracer un triangle ABC et son cercle circonscrit

. J'avais ensuite créé un point M lié à ce cercle, mesuré les longueurs MA, MB et MC et créé le barycentre M' des points pondérés (A, MA), (B, MB) et (C, MC). À ma grande surprise, je me suis aperçu que le lieu des points M' quand le point M décrivait le cercle

semblait être un triangle. J'ai alors découvert que ce résultat reposait en fait sur le théorème de Ptolémée.
Illustration avec MathGraph32

2. Définition de la transformation T

E désigne un plan euclidien.
Définition de T (M) : Si n est un entier, n ( 2, on définit l'application

de E dans E par :

= bar {(A₁, MA₁); (A₂, MA₂); ...;(A_n, MA_n)}. (bar signifiant barycentre).
Quand il n'y a pas d'ambiguïté, cette application sera notée simplement T.

3. Présentation de cet article

Nous étudierons dans cet article le cas de deux points, puis de trois points, enfin de n points.
Dans le cas de n points (n >= 4) de nombreuses questions restent ouvertes que nous présenterons en fin de cet article.
On pourra identifier E et le plan complexe C et on appellera alors a₁, a₂, , a_n les affixes de A₁, A₂, ..., A_n.

4. Remerciements

Je dois remercier particulièrement Mahdi Abdeljaouad, professeur à l'université de Tunis, pour ses conseils judicieux, en particulier pour avoir eu l'idée d'utiliser la notion de transformation, et Daniel Perrin, professeur à l'université d'Orsay, qui a complété ce que j'avais trouvé en étudiant à fond la transformation T dans le cas de deux et trois points et en utilisant de façon très judicieuse l'inversion. Merci aussi à mon jeune collègue Christophe Rivière pour sa relecture attentive.
Cliquez sur le lien de votre choix :
I. Les résultats que nous utiliserons dans cet article sans les démontrer
II. Cas de n points cocycliques : utilisation d'une inversion
III. Le cas de deux points
IV) Cas de trois points cocycliques. Image par T du cercle circonscrit à ces points
V) Cas de points A i cocycliques. Image par T du cercle circonscrit à ces points
VI. Des propriété du triangle A'B'C' dans le cas de trois points
VII. Beaucoup de questions restent en suspens