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Einstein
PRÉSENTATION Les Nations unies et l’Unesco ont décidé de faire de l’année 2005 l’année mondiale de la physique. Il s’agit d’une part de célébrer le centenaire de la publication en 1905, par Albert Einstein, de trois articles fondateurs pour la physique du XXe siècle. D’autre part, d’illustrer le dynamisme d’une discipline dans son développement propre et dans ses relations avec les autres disciplines : chimie, biologie, sciences de l’environnement.
Le présent numéro de Thém@doc s’inscrit dans une perspective historique et s'intéresse aux sujets abordés par Einstein au cours de cette « année miracle » : mouvement brownien, quanta de lumière, relativité restreinte et équivalence masse-énergie. Il sera suivi de deux autres numéros qui proposeront aux élèves et aux enseignants autant « d’histoires de science ». Le pluriel souligne ici qu’il ne s’agit pas de présenter des travaux d’historiens mais de restituer, lorsque c’est possible et tout en demeurant proche des programmes officiels, le cheminement qui a conduit à l’élaboration de tel ou tel concept scientifique devenu parfois familier et banal. À force d’identifier le concept au matériel empirique qu’il est censé représenter, on oublie que la compréhension de la nature procède de « libres constructions conceptuelles », comme le dit Einstein. Dans cet oubli, l’aventure humaine associée à la création scientifique disparaît, avec ses risques, ses errements, ses doutes, ses désespoirs, ses percées fulgurantes aussi. Revenir sur les obstacles franchis, c’est aussi, pour celui qui apprend, mettre en regard le cheminement individuel et celui de l’espèce, c’est mesurer mieux l’ampleur des questions ouvertes, c’est toucher à la dimension culturelle de la science, qui est, au sens le plus large, d’aider à construire des points de repère dans le monde dont nous sommes issus et auquel nous participons. Jacques TREINER
REPÈRES
Introduction Sur les trois articles analysés dans les Repères, deux relèvent de la thermodynamique (celui sur le mouvement brownien et celui sur les quanta de lumière) et le troisième, qui contient ce qui s’appellera bientôt la « théorie de la relativité restreinte », concerne la nature de l’espace-temps et les conséquences de la modification de la cinématique sur les transformations des lois de l’électromagnétisme lors d’un changement de système de référence galiléen.
À la base des deux premiers, une réflexion sur l’entropie. Elle conduira à l’acte de naissance définitif des atomes, et, avec les quanta de lumière, à la première apparition de ces particules quantiques qui, suivant le contexte expérimental où elles interviennent, présentent des comportements de type particulaire ou ondulatoire. Quant au troisième, il marque la disparition de l’éther, ce milieu hypothétique support des ondes électromagnétiques, qui échappait à toute description, et dont Einstein propose de se débarrasser. L’article illustre également les limites de notre perception intuitive de l’espace et du temps, et met en place des batteries de règles et d’horloges synchronisées pour effectuer des comparaisons de mesures résultant d’un processus expérimental – même s’il s’agit à l’époque d’expériences de pensée. Du reste, ces expériences sont à l’heure actuelle communément effectuées, par exemple dans le fonctionnement du système GPS. Qu’est-ce qu’une bonne question ? Une question est bonne si la réponse est riche, voilà la règle en la matière. Autrement dit, c’est la réponse qui décide de la qualité de la question – c’est pourquoi il faut parfois savoir changer de question. À cette aune, les questions que se pose Einstein en ce début de siècle sont parmi les meilleures qui soient ! Contexte L’année 1905 représente une charnière à la fois dans l’histoire de la physique et dans la vie d’Einstein. En ce qui concerne la physique, nous allons y revenir en détail dans les articles qui suivent. En ce qui concerne la vie d’Einstein, indiquons ici quelques brefs repères biographiques. Nous y verrons que le début de son parcours scientifique n’a précisément rien d’une « carrière », qu’il se situe en dehors de toute institution universitaire et de ce qui s’y rapporte – maîtres, jeunes collègues, visiteurs étrangers, bibliothèques – pour assimiler les questionnements d’une époque et contribuer à y répondre
Albert Einstein termine ses études dans la section « professorat » du Polytechnicum de Zürich en 1900, à l’âge de 21 ans. Le choix de cette section, plutôt que celle d’ingénieur, indique qu’il entend se diriger vers une carrière universitaire. Mais ses rapports avec les enseignants n’ont pas été bons : il leur reproche leur classicisme et leur manque d’ouverture aux questions scientifiques nouvelles – Minkowski fera exception –, eux lui reprochent de n’en faire qu’à sa tête. Il ne recevra donc pas de leur part les appuis et lettres de recommandation nécessaires à l’obtention d’un poste. Le jeune Einstein entretient depuis longtemps déjà une double relation avec le monde scientifique : bonne avec la science, mauvaise avec ceux qui la transmettent. À 15 ans, il avait décidé d’abandonner le lycée de Munich où il était interne, pour rejoindre ses parents qui tentaient de monter une entreprise à Milan, parce qu’il ne supportait pas l’ambiance de caserne qui y régnait et qu’à 16 ans, il devait faire son service militaire. Il convainc ses parents de l’envoyer faire ses études à Zürich, mais comme il n’a pas son baccalauréat, il doit passer encore un an en Allemagne. Il décide alors d’abandonner la nationalité allemande pour échapper à la conscription, et de faire ce qu’il faut pour adopter la nationalité suisse. Il ne l’obtiendra qu’en 1901, après les cinq années réglementaires de résidence. La détermination que l’adolescent met à suivre ses inclinations profondes, à échapper à la contrainte reçue comme arbitraire, révèle une maturité précoce ou – si l’on préfère – un trait de caractère constitutif. En 1900, il est donc pendant quelques mois sans perspectives universitaires, sans emploi et sans nationalité. Il travaille seul, et fait des rencontres de tous ordres : Zürich est un centre intellectuel dynamique où toutes les idées se confrontent, y compris celles qui concernent l’organisation de la société. En mal de situation, il accepte avec enthousiasme un premier emploi de remplaçant de professeur de mathématiques dans un lycée de province, puis se fait renvoyer d’un second – alors qu’il n’a aucun revenu de remplacement – parce qu’on lui demande, et qu’il refuse, de mettre son enseignement sous le signe de l’autorité et de la discipline. Il s’installe finalement à Berne en 1902, après que son ami mathématicien Marcel Grossmann et le père de celui-ci lui ont obtenu la promesse d’un poste au Bureau de la propriété industrielle de Berne. En attendant la création du poste, il propose dans le journal local des leçons particulières en mathématiques et en physique (« premières leçons d’essai gratuites » !). Mais ce ne sont pas des lycéens en difficulté qui viendront là échanger un soutien scolaire contre quelques moyens de subsistance pour le professeur. C’est un petit groupe d’amis, curieux de tout, qui se constitue autour de Maurice Solovine, Michel Besso, Marcel Grossmann, Conrad Habicht. En dehors des heures de bureau passées à examiner les demandes de brevet pour les inventions les plus diverses (Einstein n’est pas le pur théoricien qu’on imagine parfois, il connaît la physique de l’ingénieur et tirera des revenus substantiels au cours de sa vie en tant que consultant pour des entreprises industrielles), il a toute liberté, avec ses amis et sa femme Mileva, physicienne également, pour passer au crible de sa curiosité les difficultés bien réelles de la physique théorique de l’époque. Les discussions se passent chez l’un, chez l’autre, au café, au cours de promenades dans la nature ou en montagne : ils commentent Boltzmann, Maxwell, Mach, Hertz, Helmholtz, Lorentz, Poincaré, Ostwald, Drude, Lenard.
Ils les lisent comme physiciens, mais aussi comme épistémologues de la physique. Les critiques que Mach formule à l’égard de la notion de temps comme donnée première et absolue sont voisines de celle que Poincaré formulera dans La Science et l’Hypothèse, ouvrage publié en France en 1902 et traduit en Allemand en 1904. Ils lisent également des philosophes, comme Karl Pearson, John Stuart Mill et David Hume, car si l’on s’intéresse aux fondements de la physique, il est utile d’affiner sa réflexion sur les rapports entre le réel et ses représentations. Ils se sont autoproclamés « Académie Olympia », et ce n’est pas seulement par dérision : cette situation « à la marge », sans patron, sans hiérarchie, n’est pas nécessairement mauvaise pour se poser les « bonnes questions ». Mais qu’est-ce qu’une bonne question ? Ceux qui ont vécu les deux grandes synthèses du XIXe siècle, thermodynamique et électromagnétisme, mesurent et exposent tout ce qui a été accompli, et qui est immense. C’est ainsi que Kelvin voit poindre, en 1892, la fin de la physique : pour lui, elle est « définitivement constituée dans ses concepts fondamentaux
Ces trois exemples illustrent trois attitudes léguées par la génération ancienne. Mais pour la nouvelle génération, ces difficultés ne sont pas un poids, elles ne constituent pas de pénibles aboutissements mais des points de départ : c’est de là qu’il faut construire. Toute proportion gardée, on retrouve une attitude semblable chez le jeune Feynman, autre esprit libre s’il en fut, lorsqu’il était étudiant au MIT (Massachusetts Institute of Technology). Il lui était apparu que « l’état peu satisfaisant de la théorie quantique de l’électricité et du magnétisme était le problème fondamental du moment » (conférence Nobel, 1965). Il raconte aussi que, lisant le livre de mécanique quantique de Dirac, et ne comprenant pas très bien les passages techniques où les choses étaient démontrées en détail, il avait « le sentiment personnel que, puisqu’ils (les physiciens de la génération précédente) n’avaient pas obtenu de réponse satisfaisante au problème qu’[il] voulait résoudre, il ne [lui] était pas nécessaire d’accorder une attention exagérée à ce qu’ils avaient fait » ! Si l’année 1905 paraît donc hors norme, c’est qu’elle est l’aboutissement de ces quelques années de libres discussions tous azimuts au sein de l’Académie Olympia. La situation sociale d’Einstein n’évolue que quelques années plus tard, quand il quitte le Bureau de la propriété industrielle, en 1909. Jacques TREINER
Espace-temps relativistes Constatations fondamentales
Galilée, dans un texte superbe, avait suggéré qu’il était impossible pour le voyageur enfermé dans la cabine d’un bateau de savoir si le navire avançait sur une mer calme ou s’il était immobile. Aujourd’hui, comment estimer la vitesse d’un avion sans regarder par un hublot ? L’eau s’y verse dans le verre comme au sol, lequel sol est néanmoins entraîné à près de 30 kilomètres par seconde autour du Soleil !
Ces constatations fondamentales portent le nom de « principe de relativité ». Enoncé par Galilée dans le cadre de la mécanique classique, Einstein, après Poincaré, va reconnaître dans son article « Électrodynamique des corps en mouvement », publié en 1905, que ce principe s’étend aux phénomènes électromagnétiques et à la lumière. Il l’érige en postulat et, poursuivant sa démarche, va bouleverser la physique de son temps. Il crée ce qui sera nommé a posteriori la « théorie de la relativité restreinte ». Son article contient deux parties distinctes : l’une (« Partie cinématique ») dans laquelle il opère une révision complète des notions d’espace et de temps ; l’autre (« Partie électrodynamique ») dans laquelle il en analyse les conséquences sur l’électromagnétisme. Suivons pas à pas le grand homme dans son œuvre révolutionnaire, en nous attachant en particulier à cette seconde partie si oubliée des articles concernant la relativité. Des difficultés révélatrices
Dans l’introduction, Albert Einstein pointe deux difficultés de l’électromagnétisme classique.
La première concerne l’interprétation, insatisfaisante à ses yeux, du phénomène d’induction. Qu’on déplace un aimant au voisinage d’un conducteur, ou le conducteur devant l’aimant immobile, le conducteur est parcouru par des courants électriques qui ne dépendent que du mouvement relatif de l’aimant et du conducteur. Mais « selon la conception usuelle, remarque Einstein, il convient de distinguer soigneusement les deux cas [...]. Si c’est l’aimant qui se déplace et le conducteur qui est au repos, il apparaît au voisinage de l’aimant un champ électrique 1 qui engendre un courant aux endroits où se trouvent des portions du conducteur. Mais si c’est l’aimant qui est au repos et le conducteur qui est en mouvement, il n’apparaît aucun champ électrique au voisinage de l’aimant; en revanche, il apparaît dans le conducteur une force électromotrice 2 »), d’origine magnétique, « qui donne naissance à des courants électriques de même intensité et de même évolution temporelle que ceux produits par les forces électriques dans le premier cas. » Pourquoi faut-il donc deux explications différentes alors que l’effet est le même ? La deuxième difficulté concerne le milieu hypothétique dans lequel les ondes lumineuses devaient se propager : l’éther. Après l’adoption générale de la conception ondulatoire de la lumière au milieu du XIXe siècle 3 , les physiciens tentèrent tout naturellement de caractériser ce milieu. La célèbre expérience de Michelson et Morley chercha à mesurer le mouvement de la Terre par rapport à l’éther, en utilisant la propagation de signaux lumineux. Mais l’expérience fut un échec. Il semblait impossible de mettre en évidence un quelconque « vent d’éther » sur Terre comme si (mais ce n’est pas la seule interprétation possible) la vitesse de la lumière sur Terre était toujours la même quelle que soit la direction de propagation. Ce résultat négatif plongea la communauté scientifique dans la perplexité. Einstein, dans son article, prend acte des « vaines tentatives en vue de mettre en évidence un mouvement de la Terre relativement au “milieu lumineux” ». Il va même plus loin : à la différence d’un Poincaré qui tentait de conserver coûte que coûte l’éther, Einstein suggère que « L’introduction d’un “éther lumineux” se révélera superflue dans la mesure où [...], il ne sera pas introduit “d’espace au repos absolu” doté de propriétés particulières [...] ». Des postulats révolutionnaires
Ces difficultés conduisent Einstein à développer sa réflexion sur de nouvelles bases. Elles sont au nombre de deux.
La première semble aller de soi. Le résultat négatif de Michelson et Morley montre qu’il est impossible de mettre en évidence, avec la lumière, un mouvement de translation uniforme (pendant la durée de l’expérience, la trajectoire de la Terre autour du Soleil peut être assimilée à un segment de droite parcouru à vitesse constante). Mais cela n’est pas nouveau : dans le cadre de la mécanique classique, il en est de même, ainsi que Galilée l’a joliment décrit. Einstein se « contente », après Poincaré, d’étendre ce principe de relativité à l’électromagnétisme : « Dans tous les systèmes de coordonnées où les équations de la mécanique sont valables, ce sont également les mêmes lois de l’optique et de l’électrodynamique qui sont valables. » Le second postulat consigne l’autre résultat de l’expérience de Michelson et Morley : « [...] la lumière se propage dans l’espace vide avec une vitesse bien déterminée, indépendante de l’état de mouvement du corps émetteur. » En clair, la vitesse de la lumière (notée ici c) est indépendante de celle de la source ou de l’observateur. C’est un absolu qui est le même pour tous les repères en translation uniforme les uns par rapport aux autres. Là aussi, quoi de plus naturel ? Une source émet une onde ; ayant fini d’émettre, la source ne joue plus de rôle, n’est-ce pas normal ? En revanche, le mouvement de l’observateur par rapport au milieu de propagation ne devrait-il pas modifier la vitesse apparente de l’onde ? Le réponse est négative pour la lumière et ce qu’exprime le second postulat, c’est qu’il est donc impossible de rattraper un signal lumineux. Quelle que soit ma propre vitesse, la lumière va toujours à la même vitesse par rapport à moi. Qu’on ait de la lumière une interprétation ondulatoire ou corpusculaire, la contradiction avec l’expérience empirique des phénomènes à notre échelle est flagrante : dans le monde que nous pratiquons, on peut surfer sur une vague, on peut rouler à vélo aussi vite qu’un pigeon et le voir battre des ailes, immobile par rapport à nous. Avec ce second postulat, en réalité, c’est la loi habituelle d’addition des vitesses qui ne fonctionne plus. Or cette loi de composition est intimement liée à la façon dont on conçoit l’espace et le temps. Cette constation légitime le fait qu’Einstein consacre la moitié de son article à « [...] la cinématique des corps solides, puisque les énoncés de toute théorie de ce type concernent les relations entre des corps rigides (les systèmes de coordonnées), des horloges et des processus électromagnétiques ». Transformer l’espace-temps
Les notions de temps et d’espace sont si profondément ancrées en nous qu’il nous est difficile de les remettre en cause lorsqu’il faut aller contre notre perception intuitive. C’est pourtant ce à quoi nous invite Einstein dans sa première partie, brièvement résumée ici 4 .
Il commence par définir avec précision ce qu’il entend par référentiel : il s’agit d’un « solide », c’est-à-dire d’un ensemble de points immobiles les uns par rapport aux autres, munis d’horloges synchronisées les unes avec les autres (c’est-à-dire possédant une origine des temps communes). Pour se repérer dans cet espace, nul besoin de règles graduées : il suffit d’échanger des signaux lumineux et de mesurer des durées avec des horloges. Le lecteur reconnaîtra ici le principe de la localisation par satellite, le système GPS. Einstein prend bien soin d’expliciter comment synchroniser deux horloges entre elles avec de la lumière pour montrer immédiatement après pourquoi, en vertu de l’invariance de la vitesse de la lumière, la notion de simultanéité est relative à un référentiel : « Nous voyons que nous n’avons pas le droit d’attribuer une signification absolue au concept de simultanéité, et que deux événements qui, du point de vue d’un système de coordonnées, sont simultanés, ne peuvent plus être considérées comme des événements simultanés lorsqu’ils sont vus d’un autre système de coordonnées en mouvement relativement au premier. » Il s’ensuit alors un paragraphe technique et difficile où Einstein établit, à partir des deux postulats, les lois de transformations entre les coordonnées spatio-temporelles de deux référentiels en translation uniforme l’un par rapport à l’autre à la vitesse V le long d’un axe, désigné par X dans toute la suite. Ce changement de référentiel sera le seul considéré par Einstein dans tout son article et les formules qui en résultent portent le nom de transformation spéciale de Lorentz. En effet, Einstein ne fait que retrouver des relations anciennes, déjà données par plusieurs auteurs comme Lorentz ou Poincaré. Il est cependant le premier à les accepter pour ce qu’elles sont : un abandon de l’espace-temps absolu de Newton. Einstein donne ensuite les interprétations physiques des équations obtenues. Elles sont au nombre de trois. La première est que « si deux horloges synchrones se trouvent en A et que l’on déplace l’une d’entre elles à vitesse constante le long d’une courbe fermée jusqu’à ce qu’elle soit revenue en A […], cette horloge, à son arrivée en A, retarde […] sur l’horloge qui n’a pas bougé ». Il s’agit de la dilatation des temps : la durée mesurée en suivant le mouvement, ce que les physiciens appellent le temps propre, est toujours plus faible que la durée mesurée dans un référentiel fixe. Cet effet fait intervenir la fonction
Transformer la lumière
Qu’est-ce que la lumière ? C’est d’abord ce qui nous permet de voir le jaune du Soleil au zénith ou le bleu de Klein. Il a fallu attendre Maxwell pour que l’homme en découvre la nature et l’identifie à une onde électromagnétique, c’est-à-dire aux oscillations couplées d’un champ électrique et d’un champ magnétique. Maxwell avait fondé sa découverte en modifiant la loi d’Ampère 5 pour exprimer qu’un champ électrique variable avec le temps engendre un champ magnétique dans tout l’espace, une idée tout à fait nouvelle pour ses contemporains. Cela constitue le pendant de la loi de Faraday sur l’induction, où les variations temporelles du champ magnétique induisent un champ électrique. Comme l’espace et le temps ont perdu leur caractère absolu, il est naturel de se demander quelles en sont les conséquences sur l’électromagnétisme. C’est ce à quoi s’attache Einstein dans sa seconde partie, la « Partie électrodynamique ».
Il commence par l’établissement des formules de transformation du champ électrique et du champ magnétique lors d’un changement de référentiel (semblable à celui de la partie précédente). Pour cela, Einstein revient à son premier postulat : « [...] le principe de relativité exige que les équations de Maxwell-Hertz dans l’espace vide soient également valables dans le système [...] en mouvement, si elles le sont dans le système [...] » au repos. En utilisant la transformation spéciale de Lorentz, il en déduit les formules :
où l’on a distingué les composantes des champs parallèles et orthogonaux à la vitesse. Comment les interpréter ? Einstein remarque que le terme  est associé dans les anciennes formulations à un champ électromoteur, d’origine magnétique. Dans sa nouvelle formulation, il apparaît au contraire qu’il exprime les nouvelles composantes du champ électrique dans le référentiel mobile. Ainsi, « [...] les forces électriques et magnétiques ne possèdent pas une existence indépendante de l’état de mouvement du système de coordonnées. » Au répond le :
Einstein ne va cependant pas s’arrêter en si bon chemin et explore les conséquences de sa nouvelle théorie sur trois effets mettant en jeu des ondes électromagnétiques : le phénomène d’aberration des étoiles, « le principe de Doppler » (sic) et la pression de radiation 6. Chacun avait déjà reçu une interprétation dans le cadre de l’électromagnétisme classique mais Einstein établit ici de nouveaux résultats. Rappelons d’abord ce que sont ces différents effets. L’aberration 7 désigne le mouvement apparent des astres sur la sphère céleste dû au mouvement relatif de ces astres et de la Terre.
L’effet Doppler exprime la modification de fréquence d’une onde oscillante par suite du mouvement de la source de l’onde ou du récepteur (cf. ci-dessous). Ainsi, le son d’une ambulance (respectivement la lumière d’une étoile) qui s’éloigne de nous paraît plus grave (cf. schéma Spectre de Hubble ci-dessous).
La pression de radiation enfin résulte de la force moyenne qu’exerce la lumière sur un objet qui la réfléchit. Elle se manifeste en particulier sur les queues des comètes que le rayonnement solaire oriente dans la direction opposée à celle du Soleil. Pour s’attaquer à ces phénomènes, Einstein utilise la même démarche par un judicieux changement de référentiel : « [...] tout problème d’optique des corps en mouvement se trouve ramené à une suite de problèmes d’optique des corps au repos. » Il obtient alors des formules inédites, qui diffèrent des formules classiques par des corrections en  (où V désigne selon les cas la vitesse de la Terre par rapport aux astres ou la vitesse de l’objet réflecteur) si faibles qu’elles rendaient impossible en son temps toute discrimination. Einstein se satisfait d’ailleurs qu’en première approximation, ses résultats soient « en conformité avec l’expérience et d’autres théories ». Pourtant, les nouvelles formules contiennent des aspects très novateurs. Ainsi, Einstein prédit que l’effet Doppler ne dépend que de la vitesse relative entre la source et le récepteur alors que la formule classique fait intervenir chacune de ces vitesses. Il montre aussi que « [...] pour un observateur qui s’approcherait à la vitesse c d’une source de lumière, cette dernière devrait nécessairement paraître infiniment intense. » Signalons que les expériences les plus sophistiquées 8 ont tranché en faveur d’Einstein.
Une nouvelle dynamique, une nouvelle inertie
Les derniers paragraphes sont sans doute les moins achevés de l’article d’Einstein, dans le sens où ils ne présentent pas la forme définitive de la relativité restreinte en ce qui concerne la dynamique. C’est en effet au mouvement d’une charge sous l’effet d’un champ électromagnétique qu’Einstein va désormais s’intéresser. Sa technique est désormais bien au point. D’abord écrire les équations de la dynamique dans le référentiel où la charge est au repos :
ces équations sont les mêmes que la relation fondamentale de la dynamique de Newton 9  , où m est la masse de la charge et  et  sont respectivement l’accélération et le champ électrique ressentis par la charge dans son référentiel. Ensuite, utiliser la transformation spéciale de Lorentz et la transformation des champs pour voir ce qu’il advient de cette relation dans le référentiel du laboratoire (au repos). Si « [...] nous maintenons la relation : (valeur de la masse) x (valeur de l’accélération) = valeur de la force [...] », Einstein constate que l’on doit introduire deux masses inertielles, une masse longitudinale  et une masse transversale  pour exprimer la dynamique de la charge de vitesse  et soumise à la force . Pour la composante de l’accélération parallèle à la vitesse, on a en effet  tandis que sur les composantes orthogonales  10. Comme le fait judicieusement remarquer Einstein « [...] ces résultats relatifs aux masses valent également pour des points matériels pondérables [...] », c’est-à-dire aux corps non chargés. Ce résultat est considérable car il suggère que l’inertie n’est pas la même selon le mouvement ou orthogonalement au mouvement, et qu’elle augmente indéfiniment lorsque la vitesse u s’approche de la vitesse de la lumière. Einstein en déduit alors par le calcul du travail de la force, l’énergie cinétique  relativiste d’un corps animé de la vitesse u :
qui s’identifie à la formule classique  uniquement dans le cas des faibles vitesses faibles.
Einstein conclut son article par des prédictions très simples sur les caractéristiques du mouvement de l’électron, de charge (-e). Deux doivent retenir notre intention. La première est la relation « entre la différence de potentiel parcourue et la vitesse u acquise par l’électron [...] » que nous écririons aujourd’hui (-e) f = Ec. Cette relation a été testée par Bertozzi en... 1964, en accélérant sous plusieurs millions de volts des électrons !
Les résultats expérimentaux obtenus pour  démentent la loi classique
La seconde prédiction exprime « [...] le rayon de courbure R de la trajectoire de l’électron lorsque la seule force déflectrice présente est une force magnétique [...] agissant perpendiculairement à la vitesse de l’électron. » On sait que dans cette configuration, la trajectoire est un cercle dont le rayon est, selon Einstein, égal à  où B est le module du champ magnétique. On constate que loin d’être une constante, le rayon est sensiblement modifié quand la vitesse de la charge est appréciable par rapport à la vitesse de la lumière. Ce fait est fondamental dans la conception d’accélérateurs de particules circulaires, comme le futur synchrotron Soleil, dans lequel se succèdent zones accélératrices (sous l’effet d’un champ électrique) et zones de confinement (sous l’effet d’un champ magnétique).
L’achèvement
Ainsi se finit notre voyage dans les traces d’Einstein. En cours de route, nous avons remis en cause les conceptions de Newton sur l’espace et le temps, modifié les lois de la dynamique des corps et avons définitivement confondu champ électrique et champ magnétique en une entité unique, le champ électromagnétique. Aujourd’hui, rien n’est à retrancher de cet article qui constitue toujours une précieuse et pédagogique introduction à la relativité. Dans une brève note publiée trois mois après l’article sur la relativité, Einstein parachèvera son œuvre en énonçant la formule de physique sans doute la plus célèbre de tous les temps : E = mc².Édouard KIERLIK,
maître de conférences à l'université Pierre-et-Marie-Curie
1
Le champ magnétique varie au cours du temps en un point donné à cause du mouvement de l’aimant : il induit un champ électrique.
2
Cette force électromotrice est égale au produit vectoriel de la vitesse du conducteur par le champ magnétique.
3
Einstein va aussi mettre à mal la conception ondulatoire ! Voir "Le photon" de la partie Repères de ce dossier.
4
Pour une présentation plus complète, nous renvoyons nos lecteurs à l’article « Que sont devenus l’espace et le temps ? » dans le numéro 886 du 15 décembre 2004 de Textes et documents pour la classe.
6
Voir aussi l’article sur les photons (Repères), le paragraphe consacré à “la lumière comme objet physique”, qui traite de la pression de radiation.
8
Voir par exemple l’expérience de Ives et Stillwell présentée dans le livre d’Yvan Simon (Relativité restreinte. Cours et applications, Vuibert, 2004).
9
Il est entendu en relativité que les lois classiques doivent être retrouvées lorsque les vitesses sont faibles devant la vitesse de la lumière.
10
Cette discussion sera achevée par Planck, qui fera remarquer que les notions de masses transversales et longitudinales sont inopportunes et peuvent être abandonnées au profit d’une redéfinition de la quantité de mouvement d’un corps  . Cette définition permet de conserver la forme classique de la relation  .Le photon Introduction
Parmi les trois articles écrits par Einstein en 1905, le plus troublant est certainement celui où il présente son « hypothèse des quanta ». Dans ses deux autres articles, Einstein présente des travaux mûrs : ses approches de la relativité et du mouvement brownien sont des constructions théoriques rigoureuses. Dans l’article sur les quanta, il présente une hypothèse : la lumière est composée de grains d’énergie localisés. Einstein ne dispose pas de raisonnement théorique achevé pour asseoir cette hypothèse qui va à l’encontre des conceptions ondulatoires admises alors. Il présente donc l’état des lieux sur les conceptions de la lumière et il fait part au lecteur du cheminement d’idées qui l’a conduit à formuler cette hypothèse.
Comme tous ces prédécesseurs qui s’étaient intéressés à la lumière, Einstein cherche à expliquer de nouveaux phénomènes. Son article « Un point de vue heuristique concernant la production et la transformation de la lumière » est particulièrement intéressant, car il met en relief ce qui « coince » au début du XXe siècle, c'est-à-dire la limite entre ce qui est compris et ce qui ne l’est pas. Nous commencerons par replacer les travaux d’Einstein dans la lignée des travaux sur la lumière. Ne concernant initialement que la formation des images, les études sur la lumière se sont progressivement enrichies de très nombreux phénomènes physiques : optique, physique des ondes, électricité et magnétisme, thermodynamique et même mécanique. Nous présenterons ensuite l’apport de cet article d’Einstein aux théories de la lumière : ce qu’il a permis de comprendre et ce qu’il en reste aujourd’hui. L’optique
Pendant très longtemps, l’étude de la lumière a été le souci des seuls opticiens. Leurs travaux s’articulaient autour d’une question centrale : comment se forment les images ? La notion de rayon lumineux a très rapidement été dégagée pour rendre compte de la propagation rectiligne de la lumière dans les milieux homogènes tels l’air, l’eau ou le verre. Grâce à ce concept, les physiciens se sont attaqués aux phénomènes de réflexion et de réfraction (changement de direction des rayons lumineux lors du passage d’un milieu vers un autre). Ils ont compris le fonctionnement des lentilles et ont ainsi pu concevoir des systèmes optiques tels la lunette, le télescope ou le microscope. Cette description en termes de rayons lumineux a ses limites ; deux phénomènes ne peuvent pas être compris ainsi :
- la diffraction : en présence d’obstacles, la lumière ne se propage pas parfaitement en ligne droite. Cet effet, toujours présent, est particulièrement marqué quand la taille de l’obstacle a une taille comparable à la longueur d’onde de la lumière) ; - les interférences : dans certaines conditions, la superposition de deux faisceaux lumineux ne produit pas nécessairement un faisceau plus intense, mais peut parfois conduire à une absence de lumière.
Pour interpréter tous ces phénomènes, le physicien Augustin Fresnel combine le principe d’interférence de Thomas Young aux conceptions d’Huygens sur la propagation de la lumière. Dans cette théorie, la lumière est une onde. L’approche mathématique de Fresnel fournit le moyen de déterminer comment cette onde se propage et comment elle est affectée par des obstacles ou des éléments optiques. Ses prédictions sont en parfait accord avec les expériences. La théorie de Maxwell
Les physiciens se sont alors attaqués à deux questions : quelle est la nature de cette onde et comment interagit-elle avec la matière ? La réponse est donnée par Maxwell, qui fournit une réelle théorie de la lumière. Écrites en 1864, les équations de Maxwell permettent d’englober dans un même cadre électricité et magnétisme. Ces équations prédisent qu’un champ magnétique oscillant est toujours associé à un champ électrique oscillant et que tous deux se propagent de concert sous forme d’une onde « électromagnétique ». La vitesse de propagation de ces ondes, calculée par Maxwell, s’avérant très proche de la vitesse de la lumière, celui-ci suggère alors que la lumière est une onde de ce type. Peu après, en 1888, Heinrich Hertz montrera l’existence de ces ondes électromagnétiques et le rapprochement avec la lumière suivra rapidement.
La théorie de Maxwell ne se contente pas d’établir que la lumière est associée à l’oscillation rapide d’un champ électrique et d’un champ magnétique.
Elle permet aussi de comprendre comment les ondes électromagnétiques sont couplées avec la matière, c'est-à-dire ce que sont les sources de ces ondes et comment celles-ci agissent sur la matière. Les ondes électromagnétiques sont émises par des charges électriques accélérées, par exemple un courant oscillant dans une antenne d’émission. Réciproquement, une onde électromagnétique met en mouvement des charges électriques. C’est ainsi que les ondes radio créent un courant électrique oscillant dans les antennes de réception.
La lumière comme objet physique
Avec la théorie de Maxwell, la lumière acquiert une « existence physique » à part entière. Une fois émise, l’onde lumineuse se propage de manière autonome en transportant de l’énergie. Et ce n’est pas tout : la lumière transporte aussi de la quantité de mouvement. En d’autres termes, la lumière exerce sur les matériaux qui l’absorbent ou la réfléchissent une pression nommée pression de radiation 1.
Les physiciens avaient depuis longtemps débattu de l’existence de cette pression. Nombreux sont ceux qui pensaient avoir mis cet effet en évidence. Le premier fut Homberg, qui, en 1708, pensait (à tort) avoir montré que la lumière exerçait une force sur la matière. L’année même de la parution du manuscrit de Maxwell, Crooke pense enfin avoir démontré le phénomène. Ce n’est qu’un artefact et c’est seulement en 1899 que la pression de radiation sera réellement observée. Maxwell en explique l’origine 2. Il la relie à l’énergie transportée par la lumière. Finalement, en 1899, Lebedev réalise une expérience qui prouve l’existence de cette pression. Avec ces travaux, les physiciens réalisent que la lumière présente des propriétés physiques semblables à celles d’un gaz : le rayonnement lumineux possède une énergie interne et il exerce une force de pression sur des parois. Ils imaginent donc de reproduire avec la lumière le même type d’expériences que celles réalisées avec des gaz, par exemple en enfermant un rayonnement lumineux dans une enceinte aux parois parfaitement réfléchissantes. Tout changement de volume de l’enceinte nécessite d’exercer un travail mécanique qui viendra augmenter ou diminuer l’énergie du rayonnement. De nouvelles questions surgissent alors tout naturellement : quelle est la compressibilité de la lumière ? Quelle est la capacité calorifique de la lumière ? Le rayonnement thermique
Le rayonnement électromagnétique intéresse donc alors les thermodynamiciens qui étudient la lumière émise par les corps incandescents. Tout corps chauffé, quel que soit sa nature, émet de la lumière. Une propriété remarquable est que cette lumière ne dépend pas de la nature du corps chauffé, mais seulement de sa température : lorsque l’on regarde dans un four dont l’intérieur est chauffé à haute température, tous les objets placés dans ce four ont le même aspect, ils sont rouges, orangés ou jaunes suivant la température.
On nomme la lumière émise « rayonnement thermique » ou, pour les physiciens, « rayonnement du corps noir ». Grâce à la théorie de Maxwell et aux méthodes de la thermodynamique, les physiciens étudient ce rayonnement lumineux en équilibre thermodynamique avec de la matière. Ils en déduisent de nombreuses propriétés telle la dépendance en température de l’énergie interne du rayonnement (la loi de Stephan : la densité d’énergie est proportionnelle à la puissance quatrième de la température), ou comment la couleur de la lumière émise change quand la température augmente (la loi de déplacement de Wien : la fréquence à laquelle l’émission est maximale est proportionnelle à la température). Toutefois, sur un point, la théorie (loi de Wien ou loi de Rayleigh Jeans) est en désaccord total avec l’expérience : les prédictions concernant la quantité de lumière émise ne correspondent pas aux mesures pour les petites longueurs d’onde, c'est-à-dire le rayonnement ultraviolet ou les rayons X. La prédiction de la puissance totale émise est même infinie ! Les quanta de Planck et l’intuition d’Einstein
S’attaquant à ce problème, le physicien Max Planck, propose en 1900 une formule rendant très bien compte des résultats expérimentaux. Dans la partie basse fréquence, cette formule correspond aux prédictions classiques de la théorie de Maxwell. Elle permet même une détermination du nombre d’Avogadro qui repose uniquement sur des mesures concernant la lumière. En revanche, à haute fréquence, la formule correspond aux mesures, mais se démarque très largement des prédictions de la théorie classique. Pour obtenir cette formule, Planck suit un raisonnement assez obscur où l’interaction entre la lumière et la matière suit des lois microscopiques qui violent un certain nombre de principes de la physique. N’étant pas satisfait par cette approche, Einstein décide alors de ne considérer le rayonnement du corps noir que « sous le rapport expérimental et sans prendre pour base tel ou tel modèle de la propagation du rayonnement ». Einstein constate alors que certaines propriétés d’un rayonnement monochromatique se comprennent si l’on suppose que celui-ci est un milieu discontinu constitué de quanta d’énergie de grandeur hv est donc « conduit à se demander si les lois de la production et de la transformation de la lumière n’ont pas également la même structure que si la lumière était constituée de quanta d’énergie de ce type». Notons que cette hypothèse est le fruit d’un travail de thermodynamique.
Cette hypothèse proposée, Einstein revient à des phénomènes physiques jusqu’à présent mystérieux. Trois phénomènes deviennent immédiatement très simples à comprendre : la photoluminescence, l’effet photoélectrique et l’ionisation des gaz par lumière ultraviolette.
La photoluminescence
La photoluminescence est la production de lumière par un corps éclairé par une lumière d’une autre fréquence. C’est le phénomène que nous observons lorsque, nous trouvant dans l’obscurité ou la pénombre, nous sommes éclairés par du rayonnement ultraviolet, par exemple par les lampes à « lumière noire ». Les tissus blancs deviennent lumineux, et certains corps émettent une lumière d’une couleur différente de celle qu’ils ont lorsqu’ils sont éclairés par de la lumière visible. Le physicien Stokes avait observé que la fréquence de la lumière de luminescence est nécessairement inférieure à la fréquence de la lumière excitatrice. C’est ce que nous constatons : les objets, fluorescents lorsqu’ils sont soumis à une lumière ultraviolette, ne le sont plus lorsqu’ils sont éclairés par de la lumière visible ou infrarouge. Alors que la théorie de Maxwell ne permet pas de comprendre ce phénomène, celui-ci s’explique très bien grâce à l’hypothèse des quanta. La lumière émise par fluorescence est composée de paquets dont l’énergie est donnée par la couleur émise. La molécule qui émet ce paquet doit avoir reçu un paquet dont l’énergie est supérieure à celle du paquet émis, c'est-à-dire de la lumière dont la fréquence est supérieure à celle de la lumière émise.
L’effet photoélectrique
Le second exemple est celui que l’histoire a retenu. Il s’agit de l’effet photoélectrique. La lumière peut extraire des électrons à un conducteur électrique. Cet effet avait été découvert par Hertz en 1887. Durant la période 1899-1902, le physicien Lenard effectue des expériences systématiques et observe des effets que la théorie de Maxwell n'explique pas.
L’énergie des électrons émis est indépendante de la puissance du rayonnement lumineux incidente, mais dépend en revanche de la fréquence de ce rayonnement. Lorsque l’on augmente la puissance, c’est le nombre d’électrons émis qui augmente et non leur énergie. Le fait qu’elle arrive par paquets d’énergie donnée permet à Einstein de comprendre les propriétés de cette extraction et de faire des prédictions quantitatives sur ce phénomène. Tout d’abord, les électrons ne sont émis que si la fréquence de l’onde est supérieure à une certaine valeur et cela indépendamment de la puissance lumineuse : un quantum doit avoir l’énergie suffisante pour arracher un électron à lui seul. Einstein prédit que l’énergie des électrons émis est égale à la différence entre l’énergie nécessaire à l’extraction et l’énergie d’un quantum de lumière. Autrement dit, cette énergie dépend linéairement de la fréquence de la lumière excitatrice, la pente de cette relation étant la constante de Planck elle-même.
L’ionisation des molécules
Le troisième exemple choisi par Einstein pour appliquer son hypothèse est l’ionisation des molécules. Comme pour l’effet photoélectrique, Einstein propose d’interpréter ce phénomène en supposant que « tout quantum d’énergie absorbée [par le gaz] est effectivement utilisé pour l’ionisation d’une seule molécule ». L’énergie d’un seul quantum doit donc être supérieure à l’énergie d’ionisation de la molécule : comme la photoluminescence ou l’effet photoélectrique, ce phénomène présente un seuil. Connaissant la longueur d’onde maximale (et donc de la fréquence minimale) de la lumière ionisant certains gaz raréfiés, Einstein en déduit une valeur de l’énergie d’ionisation. Cette valeur est égale (à 5 % près) à une valeur expérimentale obtenue par Stark avec une méthode totalement différente (mesures de tension d’ionisation).
Le devenir de l’intuition d’Einstein
Les prédictions d’Einstein laissent incrédules nombre de physiciens. L’un d'eux, Milikan, décide alors de prouver que l’hypothèse d’Einstein est fausse en testant ses prédictions grâce à des expériences très précises. Il dira en 1949 : « J’ai passé dix ans de ma vie à tester les équations d’Einstein de 1905, et, contrairement à toutes mes attentes, j’ai été contraint, en 1915, à attester qu’elles sont vérifiées expérimentalement sans aucune ambiguïté, et cela en dépit de leur caractère non raisonnable puisqu’elles semblent violer tout ce que nous savons des interférences de la lumière. » La publication de ces travaux en 1919 viendra donner un grand poids à l’hypothèse d’Einstein et la remettra en selle face aux résistances de la grande majorité de la communauté scientifique. Parallèlement, la mécanique quantique fait ses premiers pas. Cette nouvelle théorie permet de comprendre la structure de la matière. L’idée que la lumière aussi doit obéir aux lois de la mécanique quantique fait son chemin. Il faudra toutefois attendre 1926 pour que Dirac réconcilie l’électromagnétisme et la mécanique quantique en donnant naissance à l’électrodynamique quantique. C’est cette même année que le physicien Gilbert N. Lewis baptisera les quanta de lumière du nom actuel : les photons. Entre-temps, Einstein aura poursuivi ses travaux sur la nature de la lumière. En 1917, il établira les processus élémentaires d’interaction entre la lumière et la matière : absorption, émission spontanée et émission stimulée. Il établira l’expression de la quantité de mouvement d’un quantum de lumière, en déduira que l’atome qui émet la lumière subit un recul dans la direction opposée au départ du photon, et fondera le caractère statistique des interactions lumière-matière. Aujourd’hui, la théorie de Maxwell et la mécanique quantique sont pleinement réconciliées grâce à la « théorie quantique des champs ». Ondes et particules ne sont plus deux visions antagonistes de la lumière mais deux aspects complémentaires d’un nouveau type d’objet, le « quanton ».
Jean-Michel COURTY,
professeur à l'université Pierre-et-Marie-Curie
1
Cette force est très faible, elle peut toutefois être mise à profit pour ralentir des atomes. On projette aussi de réaliser des « voiles solaires » pour changer l’orbite de satellite et même leur faire quitter la zone d’attraction de la terre. La lumière joue alors le rôle du vent en poussant ces voiles de plusieurs centaines de mètres carré.
2
Prenons l’exemple d’un conducteur électrique : le champ électrique de l’onde met en mouvement oscillant les électrons situés à la surface du conducteur à la vitesse  . Le champ magnétique de l’onde exerce alors sur ces électrons en mouvement une force  ). Cette force, perpendiculaire à la fois au champ magnétique et à la vitesse des électrons (qui est parallèle au champ électrique) est donc dirigée selon la direction de propagation de l’onde électromagnétique.Mouvement brownien Les fondements théoriques
Au début du XXe siècle, le statut des atomes et des molécules n’est pas encore fermement établi 1. Sur le plan pratique, beaucoup de scientifiques, chimistes ou physiciens, font comme s’ils existaient « vraiment ». Depuis Dalton, il est commode (mais pas obligatoire) de raisonner en termes moléculaires pour comprendre la façon dont les éléments chimiques se combinent selon des « proportions multiples » (rapports entiers) ; en physique, Bernoulli est le premier, en 1738, à expliquer la pression dans un gaz comme résultant des collisions des molécules contre les parois ; Maxwell obtient à partir de la théorie cinétique des résultats surprenants, et justes, concernant les coefficients de transport, comme par exemple le fait que dans un gaz, la viscosité est indépendante de la pression ; Boltzmann, pour sa part, cherche à retrouver la thermodynamique macroscopique à partir de la dynamique microscopique (classique) sous-jacente.
Mais d’une part ces constituants élémentaires ne sont pas directement observables, et d’autre part il existe une objection théorique profonde à une explication mécanique des propriétés de la matière. Wilhem Ostwald l’exprimera très clairement en 1895, lors d’une réunion de la Société allemande pour les sciences et les arts : « La proposition selon laquelle tous les phénomènes naturels peuvent être finalement réduits à des phénomènes mécaniques n’est même pas à envisager à titre d’hypothèse de travail efficace : elle est simplement une erreur. Cette erreur est on ne peut plus clairement démontrée par le fait suivant. Toutes les équations de la mécanique possèdent cette propriété qu’elles admettent l’inversion du signe du temps. Autrement dit, des processus théoriquement parfaitement mécaniques peuvent se dérouler aussi bien à l’endroit qu’à l’envers dans le temps. Ainsi, un monde purement mécanique ne pourrait, contrairement au nôtre, contenir un avant et un après : l’arbre pourrait redevenir bourgeon puis graine, le papillon se retransformer en chenille, et le vieil homme en enfant. La doctrine mécaniste ne donne aucune explication sur le fait que cela ne se produit jamais, et ne peut d’ailleurs en donner à cause de cette propriété fondamentale des équations mécaniques ; cela fixe le verdict à l’égard du matérialisme scientifique. » La discussion de cette objection est délicate, et engage les fondements de la thermodynamique statistique, ce qui n’est pas notre sujet. Disons ici que le Second principe est posé comme « principe » uniquement dans l’approche macroscopique de la thermodynamique, celle qui a vu le jour dans la première moitié du XIXe siècle. Dans une approche qui part de la dynamique des constituants microscopiques, il s’agit d’une loi qui a une valeur statistique, ce n’est pas une loi absolue. Précisons également qu’il s’agit d’un sujet qui n’est pas épuisé à l’heure actuelle, comme on s’en convaincra en examinant les thèmes des conférences et écoles de physique aujourd’hui. L’article d’Einstein intitulé « Sur le mouvement de petites particules en suspension dans un liquide au repos, résultant de la théorie cinétique moléculaire de la chaleur » cherche à révéler, par une observation directe, l’agitation thermique des constituants microscopiques, eux-mêmes inobservables.
Les éléments en jeu
Pression osmotique
Une paroi « semi perméable » sélectionne les molécules suivant leur taille ou leur forme : certaines passent au travers, d’autres pas. Dans un liquide considéré comme solvant, on introduit une vésicule fermée constituée d’une paroi perméable pour le solvant, mais imperméable pour un soluté qu’on introduit dans la vésicule. L’expérience montre alors que le solvant pénètre la vésicule et qu’une surpression, appelée pression osmotique, apparaît dans la vésicule. L’équilibre, pour des solutions diluées, est atteint lorsque la pression osmotique p atteint la valeur nRT, où n désigne le nombre de mole de soluté par unité de volume. Le phénomène fut bien établi par le botaniste Wilhem Pfeffer dans les années 1870 à Bonn, qui sut réaliser des membranes semi-perméables rigides, puis van’t Hoff propose en 1886 la loi quantitative. La façon la plus simple de visualiser le phénomène est de plonger un tube vertical, fermé par une paroi semi-perméable, dans un solvant. Le niveau du liquide est le même dans le tube et à l’extérieur. Puis on introduit le soluté dans le tube : on constate alors que le niveau du liquide monte jusqu’à une hauteur h telle que p = ?gh = nRT. La dénivellation permet de visualiser la surpression osmotique. Il est surprenant qu’une substance obéisse à la même loi des gaz parfaits, qu’elle soit à l’état gazeux ou sous forme diluée dans un liquide. Einstein remarque que la thermodynamique classique est incapable de rendre compte de ce phénomène, alors que dans une vision cinétique il est normal que les particules de soluté, dont l’agitation thermique correspond à la température du liquide, produisent un excès de pression donné, dans la limite où elles n’interagissent pas entre elles, par la loi des gaz parfaits. En revanche le solvant, qui passe librement à travers la membrane, ne participe pas à la pression osmotique.
À l’échelle microscopique, le phénomène se comprend qualitativement si l’on tient compte de l’agitation de tous les constituants. Les molécules de soluté agissent comme des bouchons locaux, susceptibles de boucher les pores de la membrane semi-perméable. Au voisinage d’un de ces pores, lorsqu’une molécule de soluté, au gré de l’agitation thermique, s’écarte de la membrane, du solvant peut pénétrer dans le compartiment, mais le mouvement inverse est empêché lorsque la molécule vient boucher le pore. L’analyse thermodynamique montre que le phénomène est de nature entropique : à l’équilibre, l’énergie libre du système F = U – TS (U : énergie interne, S : entropie) est minimale, car les transformations ont lieu à volume et température constants. Reprenons l’expérience du tube décrite plus haut. Soit h la dénivellation dans le tube et s sa section droite. Prenons une petite quantité de liquide dans le récipient extérieur (solvant pur) portons-la dans le tube. Le niveau monte d’une hauteur dh. L’énergie interne totale varie uniquement parce qu’on a élevé un petit volume de solvant d’une hauteur h, d’où dU = (? s dh) gh. L’entropie du solvant n’a pas varié, mais celle du soluté a augmenté car les N molécules occupent maintenant un volume augmenté de (s dh). Or, à température constante, cette variation d’entropie est donnée par :  où k désigne la constante de Boltzmann et V le volume de liquide dans la branche contenant le soluté. Comme on doit avoir dF = 0 (équilibre), on a dU = TdS, soit :  Si l’on exprime la quantité de soluté en moles par unité de volume, on obtient bien la loi de van’t Hoff. Notons qu’on ne fait aucune hypothèse, dans le raisonnement, concernant la taille des molécules de soluté. Retenons de cette discussion que les molécules d’un soluté se comportent, dans la limite diluée où elles n’interagissent pas entre elles, comme un gaz parfait. Le phénomène d’osmose est très général. La concentration en sel de l’eau de mer, par exemple, est de n = 1,1 mole par litre. D’après la loi de van’t Off, cela correspond à une pression osmotique de 27 atmosphères. On peut donc dessaler de l’eau de mer par « osmose inverse » à travers une membrane semi perméable, c’est-à-dire en appliquant une pression p = 27 atmosphères à l’eau de mer. Le travail à dépenser pour comprimer ainsi une mole d’eau (qui occupe un volume V = 18 cm3) est égal à pV, soit, en utilisant la loi de van’t Hoff, 48 J. C’est mille fois moins que ce qui est nécessaire pour obtenir de l’eau pure par évaporation-liquéfaction ! Mais il faut trouver des parois semi-perméables suffisamment résistantes. L’osmose, en biologie, règle en particulier le flux d’eau à travers les membranes cellulaires. Une cellule, qui contient du sel, éclate lorsqu’elle est placée dans de l’eau pure car la membrane ne résiste pas à la pression osmotique qui s’instaure. La montée de la sève dans les arbres est due en partie (mais en partie seulement) à l’osmose : dans ce cas, c’est la concentration de sucre dans la sève (29 moles par mètre cube dans le cas du sirop d’érable) qui provoque la montée de l’eau par les racines. Viscosité
Lorsqu’un solide sphérique, de rayon r, se déplace à la vitesse v (à faible nombre de Reynolds) dans un liquide de viscosité ?, il subit une force de frottement donnée par la loi de Stokes : f = 6pr? v (en module).
Diffusion
Lorsqu’une substance est répartie de façon non homogène dans un fluide, il s’établit localement des courants de matière selon la loi de Fick :
où le courant  est défini comme le produit de la concentration d’impuretés n par la vitesse. Le coefficient D s’appelle le coefficient de diffusion. La loi de Fick s’interprète simplement : si l’on introduit un déséquilibre dans le système, sous la forme d’une variation locale de concentration, il s’établit un courant de matière qui tend à rétablir cet équilibre.
En effet, pour qu’une particule se trouve à l’instant t + t à la position x, il faut qu’elle ait été à l’instant t à l’abscisse x – ? et qu’elle ait effectué un saut d’amplitude ?. On somme ensuite sur tous les sauts possibles et toutes les particules. Développons le premier membre au premier ordre en t, et le second membre, sous le signe intégral, au second ordre en ?. On obtient :
Compte tenu de la normalisation de  et de sa (im)parité, on obtient :
Si l’on part d’une situation initiale où toutes les particules sont à l’origine, la solution de l’équation de la diffusion montre que la répartition des particules se produit sur un rayon ? dont le carré augmente linéairement avec le temps : ?2 = 2dDt où d représente la dimension de l’espace dans lequel se déroule la diffusion (d = 1, 2 ou 3 dimensions). Mais il est équivalent d’effectuer la moyenne du carré de la distance parcourue au bout d’un intervalle de temps donné par différentes particules. Le coefficient de diffusion est proportionnel au libre parcours moyen entre deux collisions et à la vitesse quadratique moyenne des particules diffusantes. Dans un liquide, les valeurs résultantes sont très petites. La distance moyenne parcourue par seconde est de l’ordre de quelques microns pour des molécules de l’ordre du nanomètre de rayon : l’homme a bien eu raison d’inventer la cuillère pour mélanger le sucre dans son café, au lieu d’attendre que le mélange se fasse par diffusion ! Valeurs du coefficient de diffusion de diverses substances
dans différents milieux
Reconstitution du raisonnement d’Einstein
Nous sommes maintenant en mesure de reconstituer le raisonnement d’Einstein. Son idée est de considérer des particules en suspension, suffisamment petites pour être sensibles à l’agitation thermique des molécules sous-jacentes, mais suffisamment grandes pour être visibles au microscope. Nous les appellerons des « particules browniennes ». Le théorème d’équipartition de l’énergie doit s’appliquer à ces particules pourvu qu’elles soient en équilibre thermique avec le reste du liquide, et pour des tailles de l’ordre du micron, en prenant une masse volumique proche de celle de l’eau, la relation :
Pour cela, Einstein a l’idée ingénieuse de combiner l’action d’une force macroscopique agissant sur les particules browniennes avec le processus de diffusion. Si une force constante F s’exerce sur les particules (n par unité de volume), disons dans la direction x, il en résulte un gradient de pression partielle donné par la loi de l’hydrostatique :
Or ces particules se comportent comme un gaz parfait (loi de van’t Hoff), donc :
Le nombre d’Avogadro Na intervient ici car les particules browniennes ne sont pas comptées en moles, mais individuellement. Par ailleurs, sous l’action de la force F et du frottement visqueux, chaque particule acquiert une vitesse limite obtenue en égalant ces deux forces, d’où un courant de particules nv.
La concentration devient indépendante du temps lorsque ce courant est compensé par le courant opposé dû à l’apparition du gradient de concentration dn/dx. Dans ces conditions, on a donc la suite d’égalités :
En comparant le premier et le dernier terme de ces égalités, la force auxiliaire F s’élimine, et l’on obtient la relation connue sous le nom de relation d’Einstein :
De fait, ces expériences contribueront à convaincre les derniers sceptiques concernant la réalité des atomes, Ostwald compris. Dans son ouvrage de 1913, Les Atomes, Jean Perrin recense les diverses déterminations du nombre d’Avogadro : treize méthodes différentes, faisant appel à des phénomènes sans aucune relation les uns avec les autres, comme la viscosité des gaz, le mouvement brownien, le spectre du corps noir ou la radioactivité, conduisent à des valeurs qui s’accordent à 15 pour cent près ! Devenir du mouvement brownien
Pour conclure, remarquons l’étonnant cheminement du thème du mouvement brownien dans la science moderne. Le sujet commence en 1828, avec l’observation par le botaniste anglais Richard Brown du mouvement permanent, désordonné, de particules de pollen en suspension dans un liquide au repos.
Brown conclut justement qu’il ne s'agit pas d'un phénomène vital. Les physiciens prennent ensuite le relais. Dans sa première étude sur le sujet, Albert Einstein dit qu’il n’en sait pas assez sur le mouvement brownien expérimental pour décider si le mécanisme qu’il propose s’y applique. Sa démarche, on l’a vu, est différente : si la théorie cinétique est correcte, argumente-t-il, on doit observer un mouvement erratique de petites particules en suspension. Peu après Einstein, c’est un physicien russe, Marian Schmoluchowski, qui publie une théorie analogue à celle d'Einstein.
Puis Paul Langevin propose en 1908 une approche à travers une équation dynamique (qui porte toujours son nom), dans laquelle il introduit la notion de force aléatoire. Plus précisément, lorsqu’une particule se déplace dans un fluide, elle est soumise à une force qui, au premier ordre, est la force de viscosité, mais qui comporte également une composante fluctuante, due aux collisions aléatoires avec les molécules du milieu. En effectuant alors des moyennes appropriées, et en reliant notamment les fluctuations de l’énergie cinétique des particules à la température, Langevin est capable de retrouver simplement le fait que la moyenne du carré de la distance parcourue croit linéairement avec le temps, ainsi que la relation d’Einstein entre diffusion et viscosité. Le sujet passe ensuite chez les mathématiciens, en la personne notamment de Norbert Wiener au cours des années 1920, de Paul Lévy, qui a imposé la terminologie, et d’Andreï Kolmogorov, avec son livre de 1933 sur les fondements des probabilités. Jean-Pierre Kahane précise : « Quand aujourd'hui on parle du mouvement brownien, chez les physiciens aussi bien que chez les mathématiciens, c'est du processus de Wiener qu'il s'agit.
C'est l'idéalisation continue de la promenade au hasard, le plus fondamental des processus à accroissements indépendants, l'archétype des martingales et des diffusions; il a envahi l'analyse mathématique et la géométrie, et le mouvement brownien plan est aujourd'hui l'objet de recherches et de résultats spectaculaires souvent conjecturés par des physiciens et démontrés par des mathématiciens. » À l’heure actuelle, le mouvement brownien envahit même les mathématiques financières, comme moyen d’analyse des fluctuations boursières. Retour en force d’une idée première due à Louis Bachelier, en 1900 ! Jacques TREINER,
professeur à l'université Pierre-et-Marie-Curie
EN PRATIQUE
Manifeste Fiche professeur Niveau
Lycée, terminale S en sciences physiques pour les connaissances théoriques mises en jeu.
Compétences mises en œuvre
Lecture et exploitation d’un texte (ici le Manifeste Einstein-Russel). Réinvestissement des connaissances du cours de philosophie, d'histoire et de physique. Recherche documentaire.
Situation
Cette activité fait appel à des connaissances relatives essentiellement à la partie « Énergie nucléaire » de physique, à la partie sur la seconde guerre mondiale et à la guerre froide en Histoire et à la partie sur la morale et la politique en philosophie.
Objectifs
S'interroger sur les relations entre science et culture.
Prérequis et stratégie pédagogique
Le but de l'étude de ce texte (cf. fiche élève imprimable) est de pouvoir discuter du rapport entre les sciences et la société, de même que la position morale que peuvent adopter certains savants face à certaines utilisations de la science. Cela nécessite de rappeler les découvertes scientifiques à l'origine de ces bouleversements et de les resituer dans le tissu socioculturel de l'époque. Une collaboration entre professeur de philosophie et de physique prend ici tout son sens (on peut aussi associer le professeur d'histoire). Le travail sur ce texte s'insère dans le chapitre sur l'éthique, la morale et la politique du programme de philosophie. Au niveau du cours de physique, les élèves doivent avoir vu le chapitre sur l'énergie nucléaire et la fameuse relation E = mc2. Au niveau du programme d'histoire, il peut être éclairé par la partie sur la seconde guerre mondiale (projet Manhattan) ainsi que le contexte de la guerre froide.
Le travail à réaliser par l'élève doit d'abord être une recherche personnelle sur Albert Einstein et Bertrand Russell afin de situer ces deux scientifiques ainsi que leurs principales contributions dans le siècle. La fiche élève propose quelques exemples de questions à propos du Manifeste. Contexte
Le manifeste a été rédigé par Bertrand Russell, mais sans la signature d’Albert Einstein, il n'aurait pas eu l'impact que Russell lui destinait. Ce texte témoigne, peut-être plus par son histoire et la personnalité de ceux qui l'ont écrit que par son contenu même, de l'implication des scientifiques dans la vie de la Cité et leur volonté d'agir en tant que citoyens responsables.
Selon Paul Ricœur, « l’éthique est le souci de vivre bien, avec et pour les autres, dans des institutions justes. » Mais il n'y a pas que des philosophes ou hommes politiques qui ont mené une réflexion sur la place et le rôle de l'éthique dans notre monde moderne. Paul Langevin, dans une conférence prononcée en 1932, déclara : « Tout effort de l’intelligence serait vain s’il n’avait pour but ultime la dignité humaine. » Les grands bouleversements des sciences et des techniques de la fin du XIXe siècle et surtout du XXe siècle amenèrent les scientifiques eux-mêmes à se préoccuper du devenir des applications de leurs théories et de l'interaction toujours plus forte de la science avec la société. Mais l'éthique dans la science ne date pas de la révolution industrielle... Rabelais n'a-t-il pas dit « science sans conscience n'est que ruine de l'âme » ? Depuis trois siècles, l’essor des sciences et des techniques (qui sont depuis lors intimement liées) a eu un impact social énorme. L’activité scientifique, en tant que productrice de connaissances, est partie intégrante de la culture. Elle fournit également des moyens d’agir sur la nature, et par contrecoup sur l’organisation sociale par le biais de la technologie : le passage de la machine à vapeur à l’électricité change l’organisation du travail. La généralisation de l’informatique fait de même. L’action sur la nature a toujours fait l’objet de débat, mais l’efficacité grandissante de cette action pose des problèmes nouveaux : ainsi, la production d’énergie utilisable a toujours dépendu de progrès dans les connaissances scientifiques, mais l’incidence de la consommation d’énergie sur le climat de la Terre est une donnée nouvelle dont la prise en compte ne se réduit pas seulement à la recherche sur l’énergie. Elle implique également de s’interroger sur les finalités mêmes de consommation de l’énergie. Les connaissances sur la structure de la matière acquises dans la première moitié du XXe siècle ont servi à maîtriser l'énergie nucléaire mais aussi à construire la bombe A. La science est souvent utilisée pour le meilleur – il suffit de constater que le moindre objet domestique moderne est un concentré de toute la science actuelle ; mais elle est parfois utilisée pour le pire. Certains scientifiques, qui avaient participé au Projet Manhattan sous la conduite de Robert Oppenheimer pendant la seconde guerre mondiale, ressentirent par la suite une culpabilité en regard de ce qu’ils avaient contribué à créer. D'autres, comme Luis Alvarez, pensèrent que l’utilisation de la bombe avait accéléré la fin de la guerre. Si, comme le dit Martin Heidegger, « la science ne pense pas », les scientifiques en revanche ne peuvent faire l'économie d'une réflexion sur leur rôle et les implications, souvent immenses, que la science a sur la société. En 1955, la conscience d’une responsabilité collective des scientifiques conduit Bertrand Russell à publier un manifeste, cosigné par Albert Einstein. Peu après se mettent en place les « conférences Pugwash pour la science et les affaires mondiales », qui fonctionnent depuis lors comme un forum de la communauté internationale des savants situé à bonne distance des pouvoirs civils et militaires
Albert Einstein (1879-1955), fut un grand humaniste, préoccupé de responsabilité sociale et de justice et animé par le souci éthique ; il n’a jamais craint de prendre position. Dès son jeune âge, il s’opposa au militarisme allemand pendant la première guerre mondiale. À partir de 1921, il soutient l’action du mouvement sioniste, tout en récusant l’idée d’un État religieux et en prônant la coopération entre Juifs et Arabes en Palestine. Entre autres prises de position, il co-rédige en 1954 avec Bertrand Russell, un Manifeste pour éveiller les pouvoirs sur les dangers de l’utilisation de la bombe atomique pour la survie de l’humanité. Einstein a montré une affinité particulière pour la philosophie de Spinoza. Son éthique et sa morale sont toutes deux une conséquence de son adhésion à la religion cosmique, ou panthéisme, de Spinoza. Tout deux nient l’existence d’un Dieu anthropomorphe et juge du bien et du mal. Un Dieu qui récompense et punit est inconcevable pour Einstein puisque les actions d’un homme sont « déterminées par la nécessité externe et interne, de sorte qu’aux yeux de Dieu, il ne peut pas être plus responsable qu’un objet inanimé est responsable du mouvement dont il participe ». Cela ne signifie toutefois pas être immoral du moment que les bases de l’éthique sont complètement humaines et non divines. « Pour le sage, le futur est en tout nécessaire et déterminé comme le passé ; la morale n’a rien de divin, c’est une question purement humaine. »
Bertrand Russell (1872-1970) fut un épistémologue, un mathématicien, un logicien, un philosophe et un moraliste des plus importants du XXe siècle. Il popularisa la philosophie et fut un polémiste et militant de gauche proche parfois des idées anarchistes. Il organisa le tribunal Sartre-Russell contre les crimes de la guerre du Vietnam. Il reçut le prix Nobel de littérature en 1950 pour l'ensemble de son œuvre, en particulier pour son engagement humaniste et libre penseur. Le rôle de la raison est obscur dans le domaine de la morale, selon Russell. Il va donc tenter de l'éclaircir. Il en arrive à penser que la fonction de la rationalité consiste essentiellement dans le choix des moyens en vue de la fin désirée. La raison n'est donc que la régulatrice des actions. En ce qui concerne son sentiment religieux, il est assez clair : « L'idée de Dieu, avec tous les concepts qui en découlent, nous vient des antiques despotismes orientaux. C'est une idée absolument indigne d'hommes libres. La vue de gens qui, dans une église, s'avilissent en déclarant qu'ils sont de misérables pêcheurs et en tenant d'autres propos analogues, ce spectacle est tout à fait méprisable. Leur attitude n'est pas digne d'êtres qui se respectent. [...] Un monde humain nécessite le savoir, la bonté et le courage ; il ne nécessite nullement le culte et le regret des temps abolis, ni l'enchaînement de la libre intelligence à des paroles proférées il y a des siècles par des ignorants. » (Bertrand Russell, Pourquoi je ne suis pas chrétien, 1927). Il appelle à une plus grande responsabilité des scientifiques en ce qui concerne l'application future de leurs découvertes. « La science, en soi, ne peut pas nous fournir une éthique. Elle peut nous indiquer comment atteindre un objectif donné et, parfois, nous montrer que certains objectifs sont inaccessibles. Mais parmi ceux réalisables, notre choix doit être guidé par des considérations autres que purement scientifiques. » (Bertrand Russell, 1950). Le mouvement Pugwash Le lancement du mouvement Pugwash n'est pas dû à l'initiative d'un scientifique mais à celle du philosophe britannique Bertrand Russell. En 1955, la situation mondiale paraissait extrêmement tendue et I'avenir de l'humanité se présentait sous un jour très sombre. La mise au point de la bombe à hydrogène aux États-Unis et en Union soviétique marquait le début de la course aux armements nucléaires, les deux camps fabriquant et essayant des bombes d'une puissance de destruction toujours plus grande. Dès cette époque, alors que les missiles balistiques n'existaient pas encore, ces bombes, larguées par des avions pilotés, étaient en mesure de détruire les plus grands centres urbains. Dans le climat de très vive méfiance, de peur et de propagande hostile qui régnait à l'époque, il semblait plus que probable que la guerre froide allait se changer en une guerre active qui anéantirait toute civilisation. Le manifeste Russell-Einstein vit le jour dans ces circonstances. Aux yeux de Russell, la communauté scientifique devait se préoccuper activement des dangers que présentaient pour l'humanité certaines applications de ses travaux. À cette époque, le scientifique le plus connu était Albert Einstein et c'est à lui que Bertrand Russell écrivit pour envisager la tenue d'une conférence dans laquelle des scientifiques débattraient de ces questions. Le savant accepta immédiatement et demanda à Russell de préparer un projet de déclaration à cet effet. Ce que fit celui-ci, qui renvoya son texte au physicien, pour qu'il le signe, en avril 1955. Quelques jours plus tard, Russell était dans un avion entre Rome et Paris quand le pilote annonça la mort d'Einstein. Le philosophe anglais était effondré ; il craignait que sans le patronage d'Einstein le projet ne tombât à l'eau. Mais arrivé à son hôtel à Paris, il trouva le texte de la déclaration, signé de la main d'Einstein. Cette signature avait été l'un des derniers actes du grand savant. C'est de cette manière dramatique que naquît le mouvement Pugwash. Russell réussit à obtenir les signatures de neuf autres grands scientifiques appartenant à six pays différents et, le 9 juillet 1955, le manifeste était rendu public lors d'une conférence de presse tenue à Londres, à Caxton Hall. La première conférence de scientifiques organisée sous l'égide du manifeste Russel-Einstein s'est tenue à Pugwash (petit port de pêche de la Nouvelle-Écosse, Canada) en juillet 1957. Les vingt-deux participants venaient de dix pays, dont les États-Unis, le Royaume-Uni, la France, l'Union soviétique, la Chine et la Pologne. Ils se répartirent en trois comités afin d'étudier les thèmes suivants : les risques afférents aux utilisations pacifique et militaire de l'énergie atomique, le contrôle des armements nucléaires et la responsabilité sociale des scientifiques. Le mouvement Pugwash réussit donc à réunir des scientifiques et des non-scientifiques de l'Est comme de l’Ouest, créant des voies de communication indirectes qui ont contribué à la conclusion d’accords importants, tels que le « Traité d’interdiction des essais nucléaires » de 1963 et le « Traité de non-prolifération des armes nucléaires », en 1968. Le mouvement Pugwash obtint le prix Nobel de la paix en 1995. Chacun peut consulter leur site internet. www.pugwash.org/ Eléments de réponses
Suggestions de réponses aux questions de la fiche élève.
1. Les premières négociations américano-russes débutent en 1969 mais se concrétisent seulement en 1972 avec les accords Salt 1 (Strategic Armement Limited) entre Brejnev et Nixon. 2. La bombe A est basée sur la fission de l'uranium (technique utilisée dans les centrales nucléaires civiles) alors que la bombe H est basée sur la fusion de l'hydrogène (phénomène se déroulant au coeur des étoiles). D'ailleurs le terme « bombe A », qui est le terme consacré, n'est pas scientifiquement correct car il renvoie au a de atome, alors que l'énergie vient de la transformation du noyau de l'atome. L’appellation « Bombe nucléaire » est plus adéquate. 3. Les conséquences d'une guerre seraient aussi désastreuses dans les deux camps. C'est l'équilibre de la terreur. La puissance des armes fait qu'une guerre devient impensable, sinon à rayer les deux pays de la carte. D'où l'expression de « dissuasion nucléaire ». 4. Les pays devront alors se soumettre à un pouvoir transcendant les frontières, comme l'ONU ou la Cour internationale de La Haye. 5. Le siècle des Lumières voit apparaître une réflexion sur l'universalisme d'une certaine éthique, incarnée dans la Déclaration universelle des droits de l'homme et du citoyen. Cela pose le problème de savoir si l'on peut appliquer les codes moraux qu'une partie seulement des hommes ont inventés à l’humanité tout entière. 6. L'apparition de l'arme nucléaire et de l'équilibre de la terreur a entraîné la notion de guerre conventionnelle. Un conflit « conventionnel » peut dégénérer en conflit nucléaire si les belligérants possèdent cette arme, comme l'Inde et le Pakistan. Vu les organismes de régulation et la diplomatie, il est peu probable qu'un conflit généralisé s'ensuive. Par contre, l’extension de l'arme nucléaire à des pays politiquement instables pose des problèmes nouveaux. De plus, cette prolifération est en partie due à une coalition entre le nucléaire militaire et civil. 7. Par exemple, Einstein s'est vu proposer la présidence de l'État d'Israël, qu'il a refusée. Il avait très justement analysé le problème qu'allaient poser les tensions entre Arabes et Juifs dans cette partie du monde. 8. Albert Einstein signe en 1939 une lettre préparée avec les physiciens Léo Szilard, Edward Teller et Eugène Wigner, et adressée au président Roosevelt. Elle attire l’attention du président des États-Unis sur la possibilité que l’Allemagne nazie se dote d’une arme atomique. Roosevelt lance alors le projet Manhattan dont l’objectif est la réalisation d'une bombe atomique par les Alliés. 9. L'impact grandissant des technosciences sur notre société impose plus que jamais un devoir de regard, voire une prise de position, sur les grands débats mettant les sciences en jeu : l’action de l’homme sur le climat, l’utilisation des biotechnologies sont deux exemples de ce type. Les scientifiques sont de plus en plus amenés à jouer le rôle d’experts. 10. La science en tant que corpus de connaissances modifie notre regard sur le monde et aide à préciser la place de l’homme dans l’univers observable. L’application de la science modifie les conditions d’existence des hommes entre eux. L’activité humaine a de tout temps modifié l’environnement : la disparition des mammouths semble avoir été le résultat de leur chasse intensive à une époque où le réchauffement du climat réduisait déjà leur territoire; les paysages de la campagne ne sont pas « naturels » mais résultent de l’activité des paysans. À l’heure actuelle, l’efficacité avec laquelle les applications de la science se généralisent produisent des effets à l’échelle de la planète entière. Cela pose la question des modalités du choix démocratique de ces applications. Travail sur textes Fiche professeur
Niveau
Terminale scientifique, classe de philosophie, de préférence en collaboration avec les enseignants de diverses disciplines.
Compétences mises en œuvre
Lecture (ici les deux textes de Descartes et d’Einstein), documentation, pratique du débat.
Objectifs
Découverte de questions épistémologiques : comment se crée le savoir ? Y a-t-il une méthode pour trouver son chemin face à des problèmes nouveaux ?
Travail à réaliser
Étude de deux textes :
Texte n° 1 – La méthode de la physique selon Einstein Texte n° 2 – Pour bien conduire sa raison, in Discours de la méthode, Descartes Voir fiche élève imprimable Texte intégral en ligne du Discours de la méthode sur le site de l'Université du Québec à Chicoutimi. www.uqac.uquebec.ca/zone30/Classiques_des_sciences_sociales/index.html Quelques suggestions
On propose d’abord l’étude de deux textes, le premier écrit par Einstein et le second par Descartes. L’évocation du mouvement brownien, théorisé par Einstein, en 1905, et dont un professeur de physique pourra rappeler les rudiments à titre d’introduction, offre l’occasion d’une étude épistémologique sur la distinction entre le réel empirique et sa représentation sous la forme de théories et modèles, qui dans le cas présent, est manifeste : l’essentiel est caché. La physique, par la pratique expérimentale, est attachée à l’expérience, mais la pensée logique s’exerce à coordonner le « donné de l’expérience », les « faits », en s’appuyant nécessairement, selon Einstein, sur des hypothèses préalables que l’expérience n’impose pas directement de manière indubitable.
Dans la perspective d’aider à la compréhension de ce texte, on s’appuie sur l’idée (à confronter à celle d’un collègue « philosophe ») que l’essentiel du positivisme vis-à-vis de la science consiste à refuser d’introduire tout concept qui ne corresponde pas à une réalité empirique immédiate. Le positivisme estime que la science commence par la simple observation des « faits », et en physique précisément par une expérimentation libre de toute hypothèse préalable ; cette doctrine semble avoir renforcé certains physiciens dans leur hostilité à « l’hypothèse atomiste » : les atomes n’étaient pas, à l’époque, observables. Il s’agit d’ancrer les discussions dans le réel par la considération d’exemples variés :
Pour en savoir plus J.F. SCOTT : The Scientific Work of René Descartes; London, 1952, rééd. 1987, préface de H. W. Turnbull. Prolongement à l’étude du texte de Descartes
Descartes a proposé une vision du monde qui se voulait universelle, et dans laquelle il a proposé souvent (mais pas toujours !) des modèles d’explication des phénomènes physiques qui dépassaient de beaucoup ce qu’il était en mesure de confronter à des vérifications expérimentales. Par la suite, ses explications se sont alors assez souvent révélées fausses. On peut en chercher des témoignages dans des encyclopédies, sur Internet, ou en parcourant directement, par exemple, son ouvrage Principes de philosophie (1644) ; si l’on risque cette aventure, il faut être averti que cette lecture est difficile pour un contemporain ; il s’agira de savoir contourner les passages arides pour découvrir au milieu du sable ces pépites qui constituent les réponses aux questions que l’on se pose, et que l’on a intérêt à bien fixer à l’avance, quitte à les infléchir au gré des rencontres.
On trouvera également sur le site académique de Toulouse (www.ac-toulouse.fr/) des extraits des Principes, ainsi que de nombreux autres textes de Descartes. Le professeur de philosophie recommandera une édition complète; le tome 3 des Œuvres philosophiques de Descartes, F. Alquié éd., chez Garnier, peut convenir. Modélisation Fiche professeur
Exploitation du sujet en TPE
Niveau
Sujet pouvant être choisi en première S dans le cadre d’un TPE transdisciplinaire sciences physiques-mathématiques sur le thème : Modèles, modélisation.
Prérequis
L’observation du mouvement brownien est explicitement préconisée par le programme de la classe de seconde, au chapitre « L’air qui nous entoure » ; il illustre en effet cette agitation moléculaire dont l’existence donne un sens physique à la température (absolue) et aux forces de pression au sein des gaz. L’étude du mouvement brownien en tant que phénomène aléatoire lui donne cependant un intérêt plus général, et la simulation de ce mouvement peut être effectuée sur un simple tableur ; cette étude peut constituer un sujet de TPE.
Paradoxe
C’est un phénomène aléatoire, et pourtant il est possible de le modéliser et de trouver des régularités.
Observation du phénomène réel
L’observation du phénomène révèle plusieurs caractères qualitatifs qui permettent de définir le modèle utilisé dans la simulation numérique proposée dans un deuxième temps. On observe par exemple que les particules les plus petites sont les plus mobiles, que la vitesse instantanée d’une particule est plus petite que sa vitesse moyenne sur un intervalle de temps fini, que le déplacement croît visiblement moins que proportionnellement au temps.
Éléments de protocole pour l’observation du mouvement brownien (à réaliser avec les élèves)
- Un bon microscope (objectif x100 immersion à huile) avec une caméra vidéo adaptable au microscope.
- Une fiole d’huile, une boîte de lames porte-objets et de couvre-objets en verre. - Un feutre qui servira à marquer deux points séparés de 2 mm au centre de la lame porte-objet (repères pour la mise au point, indication d’échelle). - Un peu de lait non écrémé (une goutte !), dont on observera les globules lipidiques en agitation. - Un briquet pour chauffer la lame par dessous et constater la modification de l’agitation qui en résulte (en vue d’une approche cinétique de la notion de température, en utilisant la formule d’Einstein sur le mouvement brownien). - Un dispositif de projection collective de l’image (l’idéal : un vidéoprojecteur). Visionnement de deux vidéos
La simulation du déplacement d'une particule brownienne est effectuée avec le tableur Excel (85 ko). En 100 étapes de calcul, la particule partie de l’origine s’est déplacée de beaucoup moins que 100 fois la longueur moyenne d’un déplacement individuel. Analyse d’un document historique
Fiche élève imprimable a : initialisation à la modélisation informatique du mouvement brownien L’objectif est de guider l’analyse de ce document. Il faudra bien faire saisir aux élèves le caractère suivant : une seule particule est suivie, et en un nombre fini d’instants. Pratique élémentaire de la simulation du mouvement brownien sur le tableur
Une simulation numérique du mouvement brownien sur le tableur Excel (ou autre logiciel équivalent)
Le modèle est défini par la règle suivante : À chaque pas, on tire au hasard un accroissement en x et un accroissement en y suivant une loi uniforme entre - 0,5 et + 0,5. Ce n’est bien sûr pas la seule règle possible. On pourrait par exemple choisir des pas égaux, qui ne diffèrent que par leur orientation dans le plan. On pourrait aussi se placer sur un réseau (par exemple carré), et choisir au hasard les quatre déplacements possibles. Le choix fait ici donne des trajectoires visuellement plus ressemblantes aux trajectoires expérimentales, car il n’y a pas de raison que les pas soient égaux, ni que les sommets atteints se situent sur un réseau régulier. Mais la conclusion principale de la simulation, à savoir que la distance au point de départ varie proportionnellement à la racine du nombre de pas est valable dans tous les cas. Dans un premier temps, on analyse la forme des trajectoires. Dans un second temps, on cherche des régularités dans les comportements moyens. Tracer des trajectoires
On choisit de tirer des accroissements algébriques aléatoires en x et y dans l’intervalle -0,5 + 0,5. La fonction ALEA ( ) donne un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 selon une loi uniforme. On prendra donc ALEA ( ) -0,5. On ajoute cet accroissement à l’abscisse déjà obtenue, et l’on procède de même pour l’ordonnée avec un nouveau tirage. L’instruction SOMME(A$1:A$N) donne la somme de toutes les valeurs d’une colonne A, de 1 à N. Cela permet de positionner le point au bout de N couples de tirages. Cela suffit pour représenter une « trajectoire ». Les instructions sont donc les suivantes :
A = ALEA ( ) - 0,5 (tirage de l’accroissement en x) B = ALEA ( ) - 0,5 (tirage de l’accroissement en y) C = SOMME(A$1:A1) (calcul de l’abscisse) D = SOMME(B$1:B1) (calcul de l’ordonnée) On visualise ensuite des trajectoires constituées d’une cinquantaine de points de coordonnées (C,D). Analyse quantitative de la distance moyenne à l’origine en fonction du nombre de tirages (du « temps »)
On veut calculer la valeur moyenne de la distance à l’origine au bout de 1 pas, de 5 pas, de 10 pas, de 30 pas. Illustrons la procédure sur 1 et 5 pas.
Pour 1 pas, il suffit de calculer : E = A1*A1+B1*B1 (calcul du carré de l’accroissement) F = MOYENNE(E$1 :E1) (calcul de la moyenne du carré de l’accroissement) Pour 5 pas, il faut considérer les distances obtenues au bout de 5 pas. D’où les instructions : G = ALEA ( ) + ALEA ( ) + ALEA ( ) + ALEA ( ) + ALEA ( ) - 2,5 H = ALEA ( ) + ALEA ( ) + ALEA ( ) + ALEA ( ) + ALEA ( ) - 2,5 I = G1*G1+H1*H1 J = MOYENNE(I$1:I1) Remarque : dans le calcul de G, il s’agit de cinq tirages indépendants de la variable ALEA ( ). Le résultat est différent de 5*ALEA ( ) - 2,5 ! La figure montre les résultats obtenus en moyennant sur 50 tirages : la relation entre le carré de la distance moyenne et le nombre de pas de temps est quasi linéaire. Démonstration d’une propriété quantitative du mouvement brownien
« Le carré moyen du déplacement (à vol d’oiseau) est proportionnel au temps écoulé » : démonstration. Jeu de pile ou face : calcul du gain moyen
Le jeu de pile ou face où l’on associe + 1 à pile et - 1 à face (ou l’inverse !) représente une marche au hasard à une dimension. On peut en effet représenter le gain x en fonction du nombre de coups n (gain algébrique) par la trajectoire d’un point M d’abscisse x sur un axe orienté où les pas sont d’amplitude + 1 ou - 1. Le gain est figuré par la mesure algébrique de OM(n).
Désignons par P le pas élémentaire algébrique. On a :
En faisant la moyenne sur un grand nombre de réalisations, on peut écrire :
Or <P> = 0. Donc  est indépendant de n. Par conséquent il est égal à la valeur moyenne du premier pas, <P>, c’est-à-dire nul. Le gain est nul en moyenne. Mais l’écart quadratique du gain ne l’est pas. En effet :
Ici intervient la caractéristique essentielle du processus : les pas sont décorrélés des positions. Autrement dit, pour une position donnée, la probabilité pour tirer P = 1 est la même que celle de tirer P = - 1. Par conséquent le troisième terme du second membre est nul. D’autre part <P2> = 1. On a donc :
En d’autres termes, la probabilité du gain au bout de n coups est nulle, mais le joueur passe par des gains ou des pertes d’autant plus grands qu’il joue longtemps. Marche au hasard dans le plan
Il s’agit là de la simulation numérique proposée plus haut. En chaque point, on effectue un tirage au hasard de l’accroissement de l’abscisse Px et de l’ordonnée Py suivant une loi uniforme entre - 1 et + 1. On a donc, au nième pas de temps :
x(n) = x(n - 1) + Px y(n) = y(n - 1) + Py On montre par un raisonnement analogue au cas du jeu de pile ou face que le déplacement moyen, calculé sur un grand nombre de réalisations de la marche, est nul. Quant au carré du déplacement moyen, il est donné en moyenne par :  Là encore, dans la mesure où les déplacements sont indépendants des positions, les deux derniers termes du second membre sont nuls. Par ailleurs, on a :
On obtient donc :
D’où finalement :
La distance moyenne à l’origine, au bout de n pas, est proportionnelle à la racine de n. Dans le cas présent, la simulation numérique confirme bien la pente 1/6, qui dépend du choix que nous avons fait concernant la loi de probabilité des accroissements. Démonstration proposée par Jean Perrin (1911)
D’après cette dernière égalité, la valeur de la constante signalée par l’auteur n’est autre que la valeur moyenne du carré des déplacements pour un temps t égale à l’unité de temps choisie (notre « pas de calcul »). Insistons sur le fait que lors de la généralisation à n dimensions d’un mouvement isotrope, la valeur moyenne du carré du déplacement observé à n dimensions est simplement n fois plus grande que sa projection sur un axe, puisque, par le théorème de Pythagore, on a : d2 = Sxi2, donc < d2> = S< xi2> = n<x2>. Examen qualitatif de la formule d’Einstein (1905) sur le mouvement brownien
Fiche élève imprimable b : initialisation à la modélisation informatique du mouvement brownien Dans son article sur le mouvement brownien de 1905, Einstein établit l’équation suivante :
L’importance de cette formule vient principalement de ce qu’elle montre que l’observation du mouvement brownien de particules microniques permet d’accéder à une détermination du nombre d’Avogadro NA. On propose, pour conclure, un examen qualitatif de la formule d’Einstein, sans aucun élément de démonstration. On procède ici en deux temps : Identification des grandeurs intervenant dans l’équation
Observation et interprétation du lien
Observation et interprétation du lien entre les grandeurs reliées par l’équation, en les fixant toutes sauf deux au choix :
POINT DOC
Images et films
Les documents (images et films) regroupés ici par thèmes se trouvent dans les articles de la partie « Repères » et les fiches de la partie « En pratique ». Simulations numériques et vidéos sur le mouvement brownien
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Fichier Excel
Feuille de calcul (Excel, 85 ko) permettant d'obtenir les résultats de simulations numériques du déplacement d'une particule brownienne.
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Pour les copier ou les enregistrer, cliquez sur le bouton droit de la souris puis choisissez « Enregistrer l'image ». Le mouvement brownien
Espace-temps relativistes
Le photon
Bibliographie
Web
À propos Ce dossier présente, dans la collection « Thém@doc », un ensemble de références et de pistes de travail pour répondre aux besoins des programmes de lycée en physique-chimie. Les caractéristiques essentielles que nous souhaitons promouvoir à travers lui tirent parti des potentialités de l'Internet :
– il est évolutif ; – il est mutualiste (échanges et capitalisation des données et des méthodes d'enseignement sur ce thème) ; – il instaure des liens avec un monde en constante mutation ; – il est le plus objectif possible avec des données chiffrées issues de sources les plus récentes. Les conditions d'usage de « Thém@doc » précisent l'exploitation de ces dossiers ainsi que les clauses légales relatives à la collection et à chacun des dossiers. Ce dossier a été réalisé par le Service national des productions imprimées et numériques du SCÉRÉN-CNDP. Directeur de publication : Alain Coulon, directeur général. Auteurs Jacques Treiner, professeur de physique à l’université Pierre-et-Marie-Curie, Paris ; Jean-Michel Courty, professeur à l’université Pierre-et-Marie-Curie, Paris ; Édouard Kierlik, maître de conférences à l’université Pierre-et-Marie-Curie, Paris (partie « Repères »). Marc Burgess, professeur de sciences physiques ; Francis Beaubois, professeur de sciences physiques (partie « En pratique »). Expertise pédagogique Jacques Treiner, président du groupe d'experts sur les programmes scolaires de physique-chimie ; Catherine Bouyssou, professeur de sciences physiques, chef de projet. Crédits photos Les portraits d’Einstein, de Brown, de Lorentz, de Wiener, de Russell, de Poincaré, © akg-images ; La photo d’Einstein à bicyclette, © California Institute of Technology ; le système GPS, © CNES ; schémas de la partie « Repères », Yuvanoe, © CNDP Remerciements
Documents
Michelson Les Américains Albert Michelson et Edward Morley tentent, en 1887, de déterminer la vitesse de la Terre dans l’éther, le milieu hypothétique dans lequel la lumière devait se propager. Le principe de l’expérience fait suite à une remarque de Maxwell : le temps d’un aller-retour de la lumière doit être différent selon qu’elle se propage dans la direction du mouvement de la Terre ou dans la direction perpendiculaire (si l’on admet que la loi de composition galiléenne des vitesses est aussi valable pour la lumière). Cependant, comme l’avait souligné Maxwell, la différence des temps est proportionnelle au quotient
 où c est la vitesse de la lumière dans le vide et V la vitesse de la Terre : comme on s’attend à ce que V soit de l’ordre de grandeur de la vitesse de la Terre sur son orbite (soit 30 km/s), cette différence est très petite. Le génie de Michelson réside dans l’intuition que cet effet pouvait néanmoins être mis en évidence dans une expérience d’optique. Il conçoit pour cela un appareil entièrement nouveau qui porte aujourd’hui son nom : l’interféromètre de Michelson
Une source de lumière monochromatique (S) est placée devant un miroir semi-argenté (M) qui sépare en deux parties d’égales intensités le faisceau lumineux émis par (S). Les deux ondes se réfléchissent ensuite sur deux miroirs (M1) et (M2) disposés à égales distances de (M), reviennent vers (M) qu’ils traversent avant d’être réunies sur le détecteur (D). À ce niveau, la superposition des deux ondes produit une figure d’interférence, faite de l’alternance de bandes sombres et de bandes claires. Imaginons qu’au départ l’interféromètre soit au repos par rapport à l’éther : dans ce cas, les temps d’aller-retour des deux faisceaux jusqu’au détecteur sont identiques car les deux « bras » (MM1) et (MM2) ont même longueur. Si l’interféromètre est mis en mouvement le long de (SM), la figure d’interférence va se déplacer légèrement car les temps d’aller-retour seront désormais distincts. En pratique, il est impossible de mettre au repos par rapport à l’éther un interféromètre car la Terre l’entraîne dans sa course autour du Soleil mais l’on contourne cette difficulté en faisant tourner de 90° l’interféromètre pendant l’expérience. Tout se passe comme si l’on échangeait les bras, c’est-à-dire que l’on changeait le signe de la différence des temps d’aller-retour : le déplacement des franges est donc doublé (par rapport au cas de l’interféromètre au repos). Michelson et Morley construisirent un appareil suffisamment grand pour mettre en évidence sans ambiguïté cette modification de la figure d’interférence. Ils n’observèrent cependant aucun déplacement, comme si il n’y avait pas de « vent d’éther » 1.
Le systeme gps Les idées d’Einstein sur le repérage des événements et la synchronisation des horloges se sont largement réalisées dans les systèmes de navigation par satellites. Le plus connu est le GPS qui est constitué d’une constellation de 24 satellites en orbites à environ vingt mille kilomètres de la Terre.
Il convient cependant de noter plusieurs subtilités qui sont au cœur de la théorie de la relativité restreinte. D’abord les satellites GPS, de par leurs altitudes, ne sont pas en orbites géostationnaires : vus du sol, ils sont en mouvement dans le ciel. Transformer des durées en distance n’a de sens uniquement parce que la vitesse de la lumière ne dépend pas de la vitesse de la source. Ensuite, les horloges des satellites se désynchronisent par rapport au sol : elles vivent en effet au rythme du temps propre du satellite qui diffère du rythme des horloges terrestres. À une altitude de 20 000 km, le satellite a une vitesse d’environ 3,85 km/s par rapport à la Terre, ce qui entraîne un retard de 82 picosecondes par seconde entre l’horloge de bord et les horloges du sol. Le retard cumulé est donc d’environ 7,1 microsecondes par jour. À cela s’ajoute un effet de relativité générale 1 : en vertu de l’équivalence masse-énergie révélée par la formule E = mc² le champ gravitationnel de la Terre agit sur la lumière. En effet, celle-ci est constituée de grains élémentaires, les photons, certes sans masse mais possédant une énergie. Quand un photon gagne de l’altitude, sa fréquence diminue : on montre que l’horloge satellisée gagne près de 46 microsecondes par jour par rapport au sol. Les deux effets cumulés, 39 microsecondes d’avance par jour, provoqueraient, s’ils n’étaient pas compensés, une erreur de douze kilomètres par jour sur la localisation ! magnetique On peut appréhender les lois des transformations des champs, des charges et des courants par changement de référentiel grâce à l’expérience suivante 1. Considérons un fil métallique rectiligne, rigoureusement neutre (densité de charge par unité de longueur ? = 0) et parcouru par un courant continu I ainsi qu’une charge quasi-ponctuelle q se déplaçant parallèlement à l’axe du fil à la vitesse dans le référentiel du laboratoire.
Si l’on se place dans le référentiel du laboratoire, on dira qu’en vertu de la loi de Biot et Savart, le fil crée au niveau de la charge un champ magnétique  orthogonal au plan contenant la charge et le fil. Le champ agit sur la charge par l’intermédiaire de la force de Lorentz  , qui est dirigée, si q < 0, vers le fil.
Plaçons-nous maintenant dans le référentiel de la charge, en translation à la vitesse par rapport au laboratoire. Dans ce référentiel, la charge est immobile : elle ne subit l’action d’aucun champ magnétique. Toutefois, le fil est désormais chargé.
 , qui n’existait pas dans le référentiel du laboratoire. Ce champ exerce sur la charge q une force  (dans le cas mentionné ci-dessus, elle est de ?’ = 3,3 10-9 coulombs par mètre multiplié par un facteur numérique égal à  ). Le calcul montre que cette force « électrique » dans le référentiel de la charge n’est pas égale à la force « magnétique » dans le référentiel du laboratoire : elles diffèrent d’un facteur  .
Ainsi, à partir de la seule transformation de Lorentz (et de la conservation de la charge), on a montré comment un « pur » champ magnétique se transformait par changement de référentiel en un nouveau champ magnétique et en champ électrique, que la force exercée sur une charge s’interprétait selon que l’on suivait ou non son mouvement soit comme une force électrostatique, soit comme une force magnétique et enfin que la force ne se conservait pas d’un référentiel à l’autre. Manifeste eleve Après une lecture attentive du Manifeste Einstein-Russell, répondez aux questions qui le suivent :
Questions
1. Les deux principaux signataires de ce texte, Russell et Einstein, appellent à un « accord par lequel les parties renonceraient aux armes nucléaires dans le cadre d'une réduction générale des armements ». Cet accord a-t-il eu lieu ? Par qui et dans quel cadre ?
2. Quelle est la différence entre une « bombe A » et une « bombe H ». Pourquoi la mise au point de cette « bombe H » est-elle plus effrayante ? Quand a-t-elle été mise au point et par qui ? 3. Dans quel sens l'arme nucléaire a-t-elle conduit à reconsidérer l'équilibre entre l'Est et l'Ouest (ou entre parties possédant cette arme) ? Quelles en sont les conséquences politiques ? 4. « L'abolition de la guerre exigera des limitations déplaisantes de la souveraineté nationale. » Pourquoi ? 5. À partir de quand les philosophes considèrent-ils l'humanité comme un tout homogène et non une mosaïque de peuples différents ? L'idée d'universalisme est-elle présente de tout temps chez les peuples ? 6. Au niveau de la politique internationale, l'usage de l'arme nucléaire dans un conflit entre deux pays aurait-il pour conséquence immédiate le basculement dans une guerre mondiale ? Que vaut encore cet appel à l'heure actuelle ? 7. L'éthique et la morale d'Einstein sont influencées par la philosophie de Spinoza, en particulier par son panthéisme. Rechercher la signification de ce terme. Einstein a-t-il contribué à d'autres actions politiques au cours de sa vie ? 8. Einstein a signé ce manifeste à la demande de Russell en 1954. S'est-il opposé à ce que la bombe soit construite pendant la seconde guerre mondiale ? 9. Les scientifiques ont-ils un devoir de regard sur l'application de leurs découvertes ? 10. La science est-elle neutre ? Descartes eleve
Pour aller à la rencontre de ce texte
1. Cherchez dans un dictionnaire une définition du mot « positivisme ».
2. Traduisez « théorie atomique » : théorie qui ……. 3. Traduisez par un mot simple et souvent utilisé en physique l’expression « matériel empirique ». 4. Einstein se déclare-t-il positiviste dans ce texte ? (oui/non) 5. Soulignez les mots antagonistes « préjugés » et « faits ». Qu’est-ce qu’un préjugé ? Donnez des exemples tirés de la vie courante. Que serait un préjugé en physique ? 6. Entourez la proposition correcte, à la lumière de ce texte :
8. Traduisez la dernière phrase dans un langage plus simple, en utilisant par exemple le mot « habitude ». Connaissez-vous une théorie d’Einstein qui nous a forcé à renoncer à l’idée que ce que nous percevions était directement la réalité ? 9. Pensez-vous qu’Einstein exprime de l’hostilité à l’encontre de la philosophie en général (pour ce qui est de son utilité pour la pratique scientifique) ?
Questions (en vue de mettre ce texte en relation avec celui d’Einstein)
1. Après avoir bien lu le texte, et si possible sans plus le regarder après cela, résumez à votre façon d’une phrase (contenant le mot « parce que ») le sens littéral de ce texte.
2. Réfléchissez concrètement : si vous étiez vous-même perdu en forêt, suivriez vous la méthode de Descartes pour essayer de vous en sortir ? (des arguments pour et contre peuvent être trouvés !) 3. Comment peut-on essayer de transposer le sens littéral de ce texte (le promeneur dans la forêt) au problème de la recherche de la vérité dans les sciences ? Diriez-vous que Descartes exprime ici un point de vue qui aurait été approuvé par les philosophes positivistes (qui lui sont postérieurs) ? Pensez-vous qu’Einstein aurait approuvé ici Descartes ? (une réponse nuancée est possible !) modélisationelevea Analyse d’un document historique
L’ensemble du travail expérimental de Jean Perrin, réalisé entre 1907 et 1911, lui vaudra le prix Nobel en 1926. Questions 1. Jean Perrin dit, dans le livre dont est extraite cette illustration (qui comporte 100 points reliés par des segments) : « Si on faisait des pointés en des intervalles de temps 100 fois plus rapprochés, chaque segment serait remplacé par un contour polygonal relativement aussi compliqué que le dessin entier. » Pourquoi ? Que représente exactement la ligne brisée reproduite ici ? S’agit-il de la trajectoire d’une particule ? 2. À la recherche d’une loi pour penser ce mouvement. Le relevé semble-t-il indiquer une relation entre deux directions successives ? a. Pour en juger, choisissez deux segments de longueur et de direction aussi semblables que possible, puis pour chacun d’eux, examinez les segments immédiatement antérieur et postérieur. L’identité du segment intermédiaire détermine-t-elle celle des segments voisins ? En quoi ce que vous observez peut-il être rapproché du jeu de dés ? Et de la marche d’un homme saoul ? b. Mesurez et faites noter par votre voisin les longueurs de vingt segments successifs à un endroit où elles sont bien lisibles, et tirez-en un histogramme en choisissant judicieusement l’unité de longueur pour visualiser la distribution des longueurs trouvées. Concluez à la vue de l’histogramme. 3. À la maison, et en préparation du travail que proposera le professeur en T.P. Pour tenter de réaliser une simulation numérique de cette « marche au hasard », comment un ou plusieurs dés pourraient-ils être utilisés ? Proposez une méthode, et … essayez-là ! Vous apporterez en classe le résultat graphique de votre travail. Après cela, on effectuera des lancers de dés à l’ordinateur pour réaliser une marche au hasard. modélisationeleveb Examen qualitatif de la formule d’Einstein (1905) sur le mouvement brownien
Dans son article sur le mouvement brownien de 1905, Einstein établit l’équation suivante :
On se propose d’examiner qualitativement cette formule, sans aucun élément de démonstration, avec l’unique but de faire apparaître son sens général. On procède ici en deux temps : Identification des grandeurs intervenant dans l’équation
Expliquer chaque lien par une phrase : Lien entre ? et ?2 / t : Lien entre r et ?2 / t : Lien entre T et ?2/ t : Lien entre r et NA : Quel est l’intérêt de la formule d’Einstein ? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
