| 1905, les trois percées d'Einstein |
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Constatations fondamentales
Galilée, dans un texte superbe, avait suggéré qu’il était impossible pour le voyageur enfermé dans la cabine d’un bateau de savoir si le navire avançait sur une mer calme ou s’il était immobile. Aujourd’hui, comment estimer la vitesse d’un avion sans regarder par un hublot ? L’eau s’y verse dans le verre comme au sol, lequel sol est néanmoins entraîné à près de 30 kilomètres par seconde autour du Soleil !
Ces constatations fondamentales portent le nom de « principe de relativité ». Enoncé par Galilée dans le cadre de la mécanique classique, Einstein, après Poincaré, va reconnaître dans son article « Électrodynamique des corps en mouvement », publié en 1905, que ce principe s’étend aux phénomènes électromagnétiques et à la lumière. Il l’érige en postulat et, poursuivant sa démarche, va bouleverser la physique de son temps. Il crée ce qui sera nommé a posteriori la « théorie de la relativité restreinte ».
Son article contient deux parties distinctes : l’une (« Partie cinématique ») dans laquelle il opère une révision complète des notions d’espace et de temps ; l’autre (« Partie électrodynamique ») dans laquelle il en analyse les conséquences sur l’électromagnétisme. Suivons pas à pas le grand homme dans son œuvre révolutionnaire, en nous attachant en particulier à cette seconde partie si oubliée des articles concernant la relativité.
Des difficultés révélatrices
Dans l’introduction, Albert Einstein pointe deux difficultés de l’électromagnétisme classique.
La première concerne l’interprétation, insatisfaisante à ses yeux, du phénomène d’induction. Qu’on déplace un aimant au voisinage d’un conducteur, ou le conducteur devant l’aimant immobile, le conducteur est parcouru par des courants électriques qui ne dépendent que du mouvement relatif de l’aimant et du conducteur. Mais « selon la conception usuelle, remarque Einstein, il convient de distinguer soigneusement les deux cas [...]. Si c’est l’aimant qui se déplace et le conducteur qui est au repos, il apparaît au voisinage de l’aimant un champ électrique 1 qui engendre un courant aux endroits où se trouvent des portions du conducteur. Mais si c’est l’aimant qui est au repos et le conducteur qui est en mouvement, il n’apparaît aucun champ électrique au voisinage de l’aimant; en revanche, il apparaît dans le conducteur une force électromotrice 2 »), d’origine magnétique, « qui donne naissance à des courants électriques de même intensité et de même évolution temporelle que ceux produits par les forces électriques dans le premier cas. » Pourquoi faut-il donc deux explications différentes alors que l’effet est le même ?
La deuxième difficulté concerne le milieu hypothétique dans lequel les ondes lumineuses devaient se propager : l’éther. Après l’adoption générale de la conception ondulatoire de la lumière au milieu du XIXe siècle 3 , les physiciens tentèrent tout naturellement de caractériser ce milieu. La célèbre expérience de Michelson et Morley chercha à mesurer le mouvement de la Terre par rapport à l’éther, en utilisant la propagation de signaux lumineux. Mais l’expérience fut un échec. Il semblait impossible de mettre en évidence un quelconque « vent d’éther » sur Terre comme si (mais ce n’est pas la seule interprétation possible) la vitesse de la lumière sur Terre était toujours la même quelle que soit la direction de propagation. Ce résultat négatif plongea la communauté scientifique dans la perplexité. Einstein, dans son article, prend acte des « vaines tentatives en vue de mettre en évidence un mouvement de la Terre relativement au “milieu lumineux” ». Il va même plus loin : à la différence d’un Poincaré qui tentait de conserver coûte que coûte l’éther, Einstein suggère que « L’introduction d’un “éther lumineux” se révélera superflue dans la mesure où [...], il ne sera pas introduit “d’espace au repos absolu” doté de propriétés particulières [...] ».
Des postulats révolutionnaires
Ces difficultés conduisent Einstein à développer sa réflexion sur de nouvelles bases. Elles sont au nombre de deux.
La première semble aller de soi. Le résultat négatif de Michelson et Morley montre qu’il est impossible de mettre en évidence, avec la lumière, un mouvement de translation uniforme (pendant la durée de l’expérience, la trajectoire de la Terre autour du Soleil peut être assimilée à un segment de droite parcouru à vitesse constante). Mais cela n’est pas nouveau : dans le cadre de la mécanique classique, il en est de même, ainsi que Galilée l’a joliment décrit. Einstein se « contente », après Poincaré, d’étendre ce principe de relativité à l’électromagnétisme : « Dans tous les systèmes de coordonnées où les équations de la mécanique sont valables, ce sont également les mêmes lois de l’optique et de l’électrodynamique qui sont valables. »
Le second postulat consigne l’autre résultat de l’expérience de Michelson et Morley : « [...] la lumière se propage dans l’espace vide avec une vitesse bien déterminée, indépendante de l’état de mouvement du corps émetteur. » En clair, la vitesse de la lumière (notée ici c) est indépendante de celle de la source ou de l’observateur. C’est un absolu qui est le même pour tous les repères en translation uniforme les uns par rapport aux autres. Là aussi, quoi de plus naturel ? Une source émet une onde ; ayant fini d’émettre, la source ne joue plus de rôle, n’est-ce pas normal ? En revanche, le mouvement de l’observateur par rapport au milieu de propagation ne devrait-il pas modifier la vitesse apparente de l’onde ? Le réponse est négative pour la lumière et ce qu’exprime le second postulat, c’est qu’il est donc impossible de rattraper un signal lumineux. Quelle que soit ma propre vitesse, la lumière va toujours à la même vitesse par rapport à moi. Qu’on ait de la lumière une interprétation ondulatoire ou corpusculaire, la contradiction avec l’expérience empirique des phénomènes à notre échelle est flagrante : dans le monde que nous pratiquons, on peut surfer sur une vague, on peut rouler à vélo aussi vite qu’un pigeon et le voir battre des ailes, immobile par rapport à nous.
Avec ce second postulat, en réalité, c’est la loi habituelle d’addition des vitesses qui ne fonctionne plus. Or cette loi de composition est intimement liée à la façon dont on conçoit l’espace et le temps. Cette constation légitime le fait qu’Einstein consacre la moitié de son article à « [...] la cinématique des corps solides, puisque les énoncés de toute théorie de ce type concernent les relations entre des corps rigides (les systèmes de coordonnées), des horloges et des processus électromagnétiques ».
Transformer l’espace-temps
Les notions de temps et d’espace sont si profondément ancrées en nous qu’il nous est difficile de les remettre en cause lorsqu’il faut aller contre notre perception intuitive. C’est pourtant ce à quoi nous invite Einstein dans sa première partie, brièvement résumée ici 4 .
Il commence par définir avec précision ce qu’il entend par référentiel : il s’agit d’un « solide », c’est-à-dire d’un ensemble de points immobiles les uns par rapport aux autres, munis d’horloges synchronisées les unes avec les autres (c’est-à-dire possédant une origine des temps communes). Pour se repérer dans cet espace, nul besoin de règles graduées : il suffit d’échanger des signaux lumineux et de mesurer des durées avec des horloges. Le lecteur reconnaîtra ici le principe de la localisation par satellite, le système GPS. Einstein prend bien soin d’expliciter comment synchroniser deux horloges entre elles avec de la lumière pour montrer immédiatement après pourquoi, en vertu de l’invariance de la vitesse de la lumière, la notion de simultanéité est relative à un référentiel : « Nous voyons que nous n’avons pas le droit d’attribuer une signification absolue au concept de simultanéité, et que deux événements qui, du point de vue d’un système de coordonnées, sont simultanés, ne peuvent plus être considérées comme des événements simultanés lorsqu’ils sont vus d’un autre système de coordonnées en mouvement relativement au premier. »
Il s’ensuit alors un paragraphe technique et difficile où Einstein établit, à partir des deux postulats, les lois de transformations entre les coordonnées spatio-temporelles de deux référentiels en translation uniforme l’un par rapport à l’autre à la vitesse V le long d’un axe, désigné par X dans toute la suite. Ce changement de référentiel sera le seul considéré par Einstein dans tout son article et les formules qui en résultent portent le nom de transformation spéciale de Lorentz. En effet, Einstein ne fait que retrouver des relations anciennes, déjà données par plusieurs auteurs comme Lorentz ou Poincaré. Il est cependant le premier à les accepter pour ce qu’elles sont : un abandon de l’espace-temps absolu de Newton.
Einstein donne ensuite les interprétations physiques des équations obtenues. Elles sont au nombre de trois. La première est que « si deux horloges synchrones se trouvent en A et que l’on déplace l’une d’entre elles à vitesse constante le long d’une courbe fermée jusqu’à ce qu’elle soit revenue en A […], cette horloge, à son arrivée en A, retarde […] sur l’horloge qui n’a pas bougé ». Il s’agit de la dilatation des temps : la durée mesurée en suivant le mouvement, ce que les physiciens appellent le temps propre, est toujours plus faible que la durée mesurée dans un référentiel fixe. Cet effet fait intervenir la fonction que nous retrouverons un peu partout en relativité et qui a l’importante propriété de tendre vers l’infini lorsque la vitesse V approche de la vitesse de la lumière. La seconde est : « alors que les dimensions selon Y et Z […] apparaissent non modifiées par le mouvement, la dimension selon X paraît raccourcie dans le rapport de 1 à : et donc d’autant plus que la vitesse est grande ». C’est la contraction de Fitzgerald-Lorentz, qu’Einstein interprète correctement comme un effet de perspective dans l’espace-temps et non pas comme l’imaginait Fitzgerald comme une contraction réelle des corps en mouvement. Cette contraction est directement liée à la dilatation du temps. Pour illustrer ce point, prenons l’exemple des muons, des particules élémentaires produites en haute atmosphère par les rayons cosmiques. Au repos, ils se désintègrent au bout de 2,6 microsecondes en moyenne. Or on les observe au niveau du sol, 20 km plus bas et 66 microsecondes après leur création (en supposant que leur vitesse est proche de la vitesse de la lumière) ! Le temps mesuré sur Terre s’écoule en effet bien plus lentement que dans un référentiel lié au muon (dilatation des temps). Réciproquement, dans ce dernier référentiel, où il est au repos, sa durée de vie est inchangée et le muon voit environ 800 mètres d’atmosphère défiler devant lui (contraction des longueurs) avant de se désintégrer ! La troisième enfin est le théorème d’addition des vitesses : Einstein démontre que si un corps se meut à la vitesse u par rapport à un premier référentiel et que celui-ci se déplace à la vitesse uniforme V par rapport à un second, la vitesse w du corps par rapport à ce dernier référentiel sera égale à : Il apporte donc une correction à la formule classique de composition (soit u + V) d’autant plus importante que les vitesses u ou V sont proches de celle de la lumière. En particulier, si la vitesse u est égale à c (c’est le cas des photons), alors le théorème d’addition des vitesses donne encore c : la vitesse de la lumière est bien invariante, confirmant la cohérence des postulats d’Einstein. Toutes ces déductions, qui violent les conceptions classiques, ont néanmoins été vérifiées expérimentalement avec une grande précision tout au long du XXe siècle.
Transformer la lumière
Qu’est-ce que la lumière ? C’est d’abord ce qui nous permet de voir le jaune du Soleil au zénith ou le bleu de Klein. Il a fallu attendre Maxwell pour que l’homme en découvre la nature et l’identifie à une onde électromagnétique, c’est-à-dire aux oscillations couplées d’un champ électrique et d’un champ magnétique. Maxwell avait fondé sa découverte en modifiant la loi d’Ampère 5 pour exprimer qu’un champ électrique variable avec le temps engendre un champ magnétique dans tout l’espace, une idée tout à fait nouvelle pour ses contemporains. Cela constitue le pendant de la loi de Faraday sur l’induction, où les variations temporelles du champ magnétique induisent un champ électrique. Comme l’espace et le temps ont perdu leur caractère absolu, il est naturel de se demander quelles en sont les conséquences sur l’électromagnétisme. C’est ce à quoi s’attache Einstein dans sa seconde partie, la « Partie électrodynamique ».
Il commence par l’établissement des formules de transformation du champ électrique et du champ magnétique lors d’un changement de référentiel (semblable à celui de la partie précédente). Pour cela, Einstein revient à son premier postulat : « [...] le principe de relativité exige que les équations de Maxwell-Hertz dans l’espace vide soient également valables dans le système [...] en mouvement, si elles le sont dans le système [...] » au repos. En utilisant la transformation spéciale de Lorentz, il en déduit les formules :
et
où l’on a distingué les composantes des champs parallèles et orthogonaux à la vitesse. Comment les interpréter ? Einstein remarque que le terme  est associé dans les anciennes formulations à un champ électromoteur, d’origine magnétique. Dans sa nouvelle formulation, il apparaît au contraire qu’il exprime les nouvelles composantes du champ électrique dans le référentiel mobile. Ainsi, « [...] les forces électriques et magnétiques ne possèdent pas une existence indépendante de l’état de mouvement du système de coordonnées. » Au répond le : et « [...] il est clair en outre que l’asymétrie mentionnée dans l’introduction à propos des courants engendrés par le mouvement relatif d’un aimant et d’un conducteur disparaît d’elle-même. » Einstein a alors répondu à toutes les difficultés soulevées dans son introduction. Il montre dans un court paragraphe comment densités de charges et de courants sont modifiées dans un changement de référentiel, tout en faisant remarquer que « si un corps électriquement chargé se déplace de façon arbitraire dans l’espace sans que sa charge, considérée depuis un système en mouvement avec le corps, soit modifiée, alors sa charge considéré depuis le système [...] au repos reste également constante. » La charge est ainsi une grandeur invariante en relativité. La contraction des longueurs implique a contrario que la densité de charges (le rapport de la charge sur le volume) ne l’est pas : c’est par ce mécanisme qu’un champ magnétique peut se transformer en champ électrique lors d’un changement de repère : effet magnétique ou électrique ?
Einstein ne va cependant pas s’arrêter en si bon chemin et explore les conséquences de sa nouvelle théorie sur trois effets mettant en jeu des ondes électromagnétiques : le phénomène d’aberration des étoiles, « le principe de Doppler » (sic) et la pression de radiation 6. Chacun avait déjà reçu une interprétation dans le cadre de l’électromagnétisme classique mais Einstein établit ici de nouveaux résultats. Rappelons d’abord ce que sont ces différents effets. L’aberration 7 désigne le mouvement apparent des astres sur la sphère céleste dû au mouvement relatif de ces astres et de la Terre.
 Aberration des étoiles : la lumière d'une étoile lointaine qui arrive perpendiculairement au plan de l'écliptique est reçue sur terre déviée d'un angle a, l'aberration stellaire. |
L’effet Doppler exprime la modification de fréquence d’une onde oscillante par suite du mouvement de la source de l’onde ou du récepteur (cf. ci-dessous). Ainsi, le son d’une ambulance (respectivement la lumière d’une étoile) qui s’éloigne de nous paraît plus grave (cf. schéma Spectre de Hubble ci-dessous).
 Effet Doppler : à la différence d'une source immobile, la longueur d'onde d'un signal émis par une source en mouvement est modifiée selon la direction d'observation. |
 Spectre de Hubble : selon que la source lumineuse s'éloigne ou se rapproche de l'observateur, la longueur d'onde de son rayonnement augmente (rougissement) ou diminue (bleuissement). Cet effet, observé sur le spectre électromagnétique de galaxies lointaines, a permis à l'astronome Hubble de mettre en évidence l'expansion de l'univers. |
La pression de radiation enfin résulte de la force moyenne qu’exerce la lumière sur un objet qui la réfléchit. Elle se manifeste en particulier sur les queues des comètes que le rayonnement solaire oriente dans la direction opposée à celle du Soleil. Pour s’attaquer à ces phénomènes, Einstein utilise la même démarche par un judicieux changement de référentiel : « [...] tout problème d’optique des corps en mouvement se trouve ramené à une suite de problèmes d’optique des corps au repos. » Il obtient alors des formules inédites, qui diffèrent des formules classiques par des corrections en  (où V désigne selon les cas la vitesse de la Terre par rapport aux astres ou la vitesse de l’objet réflecteur) si faibles qu’elles rendaient impossible en son temps toute discrimination. Einstein se satisfait d’ailleurs qu’en première approximation, ses résultats soient « en conformité avec l’expérience et d’autres théories ». Pourtant, les nouvelles formules contiennent des aspects très novateurs. Ainsi, Einstein prédit que l’effet Doppler ne dépend que de la vitesse relative entre la source et le récepteur alors que la formule classique fait intervenir chacune de ces vitesses. Il montre aussi que « [...] pour un observateur qui s’approcherait à la vitesse c d’une source de lumière, cette dernière devrait nécessairement paraître infiniment intense. » Signalons que les expériences les plus sophistiquées 8 ont tranché en faveur d’Einstein.
Une nouvelle dynamique, une nouvelle inertie
Les derniers paragraphes sont sans doute les moins achevés de l’article d’Einstein, dans le sens où ils ne présentent pas la forme définitive de la relativité restreinte en ce qui concerne la dynamique. C’est en effet au mouvement d’une charge sous l’effet d’un champ électromagnétique qu’Einstein va désormais s’intéresser. Sa technique est désormais bien au point. D’abord écrire les équations de la dynamique dans le référentiel où la charge est au repos :
ces équations sont les mêmes que la relation fondamentale de la dynamique de Newton 9  , où m est la masse de la charge et  et  sont respectivement l’accélération et le champ électrique ressentis par la charge dans son référentiel. Ensuite, utiliser la transformation spéciale de Lorentz et la transformation des champs pour voir ce qu’il advient de cette relation dans le référentiel du laboratoire (au repos). Si « [...] nous maintenons la relation : (valeur de la masse) x (valeur de l’accélération) = valeur de la force [...] », Einstein constate que l’on doit introduire deux masses inertielles, une masse longitudinale  et une masse transversale  pour exprimer la dynamique de la charge de vitesse  et soumise à la force . Pour la composante de l’accélération parallèle à la vitesse, on a en effet  tandis que sur les composantes orthogonales 
10. Comme le fait judicieusement remarquer Einstein « [...] ces résultats relatifs aux masses valent également pour des points matériels pondérables [...] », c’est-à-dire aux corps non chargés. Ce résultat est considérable car il suggère que l’inertie n’est pas la même selon le mouvement ou orthogonalement au mouvement, et qu’elle augmente indéfiniment lorsque la vitesse u s’approche de la vitesse de la lumière. Einstein en déduit alors par le calcul du travail de la force, l’énergie cinétique  relativiste d’un corps animé de la vitesse u :
qui s’identifie à la formule classique  uniquement dans le cas des faibles vitesses faibles.
Einstein conclut son article par des prédictions très simples sur les caractéristiques du mouvement de l’électron, de charge (-e). Deux doivent retenir notre intention. La première est la relation « entre la différence de potentiel parcourue et la vitesse u acquise par l’électron [...] » que nous écririons aujourd’hui (-e) f = Ec. Cette relation a été testée par Bertozzi en... 1964, en accélérant sous plusieurs millions de volts des électrons !
 Schéma de l'expérience de Bertozzi : l'accélérateur Van de Graff accélère les électrons émis par un canon à électrons jusqu'à 1,5 Mev. Pour obtenir des énergies plus élevées, on active les premières tranches du LINAC, ce qui réduit d'autant la longueur du vol libre de l'électron (sans champ électrique). Les résultats expérimentaux montrent néanmoins (voir schéma « Énergie cinétique ») qu'entre 1,5 Mev et 15 Mev, la vitesse moyenne de l'électron dans le LINAC n'est pas sensiblement modifiée et est proche de la vitesse de la lumière. |
Les résultats expérimentaux obtenus pour  démentent la loi classique et confirment pleinement la loi relativiste
 Énergie cinétique. |
La seconde prédiction exprime « [...] le rayon de courbure R de la trajectoire de l’électron lorsque la seule force déflectrice présente est une force magnétique [...] agissant perpendiculairement à la vitesse de l’électron. » On sait que dans cette configuration, la trajectoire est un cercle dont le rayon est, selon Einstein, égal à  où B est le module du champ magnétique. On constate que loin d’être une constante, le rayon est sensiblement modifié quand la vitesse de la charge est appréciable par rapport à la vitesse de la lumière. Ce fait est fondamental dans la conception d’accélérateurs de particules circulaires, comme le futur synchrotron Soleil, dans lequel se succèdent zones accélératrices (sous l’effet d’un champ électrique) et zones de confinement (sous l’effet d’un champ magnétique).
L’achèvement
Ainsi se finit notre voyage dans les traces d’Einstein. En cours de route, nous avons remis en cause les conceptions de Newton sur l’espace et le temps, modifié les lois de la dynamique des corps et avons définitivement confondu champ électrique et champ magnétique en une entité unique, le champ électromagnétique. Aujourd’hui, rien n’est à retrancher de cet article qui constitue toujours une précieuse et pédagogique introduction à la relativité. Dans une brève note publiée trois mois après l’article sur la relativité, Einstein parachèvera son œuvre en énonçant la formule de physique sans doute la plus célèbre de tous les temps : E = mc².
Édouard KIERLIK,
maître de conférences à l'université Pierre-et-Marie-Curie
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. Cette définition permet de conserver la forme classique de la relation 
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