| 1905, les trois percées d'Einstein |
Lycée
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Fiche professeur
Exploitation du sujet en TPE
Niveau
Sujet pouvant être choisi en première S dans le cadre d’un TPE transdisciplinaire sciences physiques-mathématiques sur le thème : Modèles, modélisation.
Prérequis
L’observation du mouvement brownien est explicitement préconisée par le programme de la classe de seconde, au chapitre « L’air qui nous entoure » ; il illustre en effet cette agitation moléculaire dont l’existence donne un sens physique à la température (absolue) et aux forces de pression au sein des gaz. L’étude du mouvement brownien en tant que phénomène aléatoire lui donne cependant un intérêt plus général, et la simulation de ce mouvement peut être effectuée sur un simple tableur ; cette étude peut constituer un sujet de TPE.
Paradoxe
C’est un phénomène aléatoire, et pourtant il est possible de le modéliser et de trouver des régularités.
Observation du phénomène réel
L’observation du phénomène révèle plusieurs caractères qualitatifs qui permettent de définir le modèle utilisé dans la simulation numérique proposée dans un deuxième temps. On observe par exemple que les particules les plus petites sont les plus mobiles, que la vitesse instantanée d’une particule est plus petite que sa vitesse moyenne sur un intervalle de temps fini, que le déplacement croît visiblement moins que proportionnellement au temps.
Éléments de protocole pour l’observation du mouvement brownien (à réaliser avec les élèves)
- Un bon microscope (objectif x100 immersion à huile) avec une caméra vidéo adaptable au microscope.
- Une fiole d’huile, une boîte de lames porte-objets et de couvre-objets en verre.
- Un feutre qui servira à marquer deux points séparés de 2 mm au centre de la lame porte-objet (repères pour la mise au point, indication d’échelle).
- Un peu de lait non écrémé (une goutte !), dont on observera les globules lipidiques en agitation.
- Un briquet pour chauffer la lame par dessous et constater la modification de l’agitation qui en résulte (en vue d’une approche cinétique de la notion de température, en utilisant la formule d’Einstein sur le mouvement brownien).
- Un dispositif de projection collective de l’image (l’idéal : un vidéoprojecteur).
Visionnement de deux vidéos
 Le mouvement brownien dans une goutte de lait. Auteurs : M. Fermigier et J. Treiner |
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 Préparation de lait filmée au travers d’un microscope. Les globules de matière grasse ont un diamètre moyen de 1 micromètre. Auteurs : M. Burgess et F. Dain |
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 Résultat de la simulation du déplacement d’une particule brownienne. |
La simulation du déplacement d'une particule brownienne est effectuée avec le tableur Excel (85 ko).
En 100 étapes de calcul, la particule partie de l’origine s’est déplacée de beaucoup moins que 100 fois la longueur moyenne d’un déplacement individuel.
Analyse d’un document historique
Fiche élève imprimable a : initialisation à la modélisation informatique du mouvement brownien
L’objectif est de guider l’analyse de ce document. Il faudra bien faire saisir aux élèves le caractère suivant : une seule particule est suivie, et en un nombre fini d’instants.
Pratique élémentaire de la simulation du mouvement brownien sur le tableur
Une simulation numérique du mouvement brownien sur le tableur Excel (ou autre logiciel équivalent)
Le modèle est défini par la règle suivante :
À chaque pas, on tire au hasard un accroissement en x et un accroissement en y suivant une loi uniforme entre - 0,5 et + 0,5.
Ce n’est bien sûr pas la seule règle possible. On pourrait par exemple choisir des pas égaux, qui ne diffèrent que par leur orientation dans le plan. On pourrait aussi se placer sur un réseau (par exemple carré), et choisir au hasard les quatre déplacements possibles. Le choix fait ici donne des trajectoires visuellement plus ressemblantes aux trajectoires expérimentales, car il n’y a pas de raison que les pas soient égaux, ni que les sommets atteints se situent sur un réseau régulier. Mais la conclusion principale de la simulation, à savoir que la distance au point de départ varie proportionnellement à la racine du nombre de pas est valable dans tous les cas.
Dans un premier temps, on analyse la forme des trajectoires. Dans un second temps, on cherche des régularités dans les comportements moyens.
Tracer des trajectoires
On choisit de tirer des accroissements algébriques aléatoires en x et y dans l’intervalle -0,5 + 0,5. La fonction ALEA ( ) donne un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 selon une loi uniforme. On prendra donc ALEA ( ) -0,5. On ajoute cet accroissement à l’abscisse déjà obtenue, et l’on procède de même pour l’ordonnée avec un nouveau tirage. L’instruction SOMME(A$1:A$N) donne la somme de toutes les valeurs d’une colonne A, de 1 à N. Cela permet de positionner le point au bout de N couples de tirages. Cela suffit pour représenter une « trajectoire ». Les instructions sont donc les suivantes :
A = ALEA ( ) - 0,5 (tirage de l’accroissement en x)
B = ALEA ( ) - 0,5 (tirage de l’accroissement en y)
C = SOMME(A$1:A1) (calcul de l’abscisse)
D = SOMME(B$1:B1) (calcul de l’ordonnée)
On visualise ensuite des trajectoires constituées d’une cinquantaine de points de coordonnées (C,D).
Analyse quantitative de la distance moyenne à l’origine en fonction du nombre de tirages (du « temps »)
On veut calculer la valeur moyenne de la distance à l’origine au bout de 1 pas, de 5 pas, de 10 pas, de 30 pas. Illustrons la procédure sur 1 et 5 pas.
Pour 1 pas, il suffit de calculer :
E = A1*A1+B1*B1 (calcul du carré de l’accroissement)
F = MOYENNE(E$1 :E1) (calcul de la moyenne du carré de l’accroissement)
Pour 5 pas, il faut considérer les distances obtenues au bout de 5 pas. D’où les instructions :
G = ALEA ( ) + ALEA ( ) + ALEA ( ) + ALEA ( ) + ALEA ( ) - 2,5
H = ALEA ( ) + ALEA ( ) + ALEA ( ) + ALEA ( ) + ALEA ( ) - 2,5
I = G1*G1+H1*H1
J = MOYENNE(I$1:I1)
Remarque : dans le calcul de G, il s’agit de cinq tirages indépendants de la variable ALEA ( ). Le résultat est différent de 5*ALEA ( ) - 2,5 !
La figure montre les résultats obtenus en moyennant sur 50 tirages : la relation entre le carré de la distance moyenne et le nombre de pas de temps est quasi linéaire.
Démonstration d’une propriété quantitative du mouvement brownien
« Le carré moyen du déplacement (à vol d’oiseau) est proportionnel au temps écoulé » : démonstration.
Jeu de pile ou face : calcul du gain moyen
Le jeu de pile ou face où l’on associe + 1 à pile et - 1 à face (ou l’inverse !) représente une marche au hasard à une dimension. On peut en effet représenter le gain x en fonction du nombre de coups n (gain algébrique) par la trajectoire d’un point M d’abscisse x sur un axe orienté où les pas sont d’amplitude + 1 ou - 1. Le gain est figuré par la mesure algébrique de OM(n).
Désignons par P le pas élémentaire algébrique. On a :
En faisant la moyenne sur un grand nombre de réalisations, on peut écrire :
Or <P> = 0. Donc  est indépendant de n. Par conséquent il est égal à la valeur moyenne du premier pas, <P>, c’est-à-dire nul. Le gain est nul en moyenne. Mais l’écart quadratique du gain ne l’est pas. En effet :
Ici intervient la caractéristique essentielle du processus : les pas sont décorrélés des positions. Autrement dit, pour une position donnée, la probabilité pour tirer P = 1 est la même que celle de tirer P = - 1. Par conséquent le troisième terme du second membre est nul.
D’autre part <P2> = 1. On a donc :
En d’autres termes, la probabilité du gain au bout de n coups est nulle, mais le joueur passe par des gains ou des pertes d’autant plus grands qu’il joue longtemps.
Marche au hasard dans le plan
Il s’agit là de la simulation numérique proposée plus haut. En chaque point, on effectue un tirage au hasard de l’accroissement de l’abscisse Px et de l’ordonnée Py suivant une loi uniforme entre - 1 et + 1. On a donc, au nième pas de temps :
x(n) = x(n - 1) + Px
y(n) = y(n - 1) + Py
On montre par un raisonnement analogue au cas du jeu de pile ou face que le déplacement moyen, calculé sur un grand nombre de réalisations de la marche, est nul. Quant au carré du déplacement moyen, il est donné en moyenne par :
Là encore, dans la mesure où les déplacements sont indépendants des positions, les deux derniers termes du second membre sont nuls. Par ailleurs, on a :
On obtient donc :
D’où finalement :
La distance moyenne à l’origine, au bout de n pas, est proportionnelle à la racine de n. Dans le cas présent, la simulation numérique confirme bien la pente 1/6, qui dépend du choix que nous avons fait concernant la loi de probabilité des accroissements.
Démonstration proposée par Jean Perrin (1911)
Soit ? 2 le carré moyen d’une composante [du déplacement d’une particule brownienne pendant] une durée [donnée] t extrêmement petite, mais pourtant assez grande pour que le mouvement reste encore irrégulier, c’est-à-dire pour que deux déplacements successifs de durée t soient absolument indépendants l’un de l’autre. Considérons une duré t’ égale à pt, p étant un entier quelconque. Pendant cette durée, la composante x subit les accroissements successifs qu’on notera : x1, x2,…, xp (chacun d’une durée t) ; la composante [(algébrique)] totale x’ (la somme) est donc (x1+ x2 +…… +xp ) et son carré est :
Si nous considérons n équations analogues correspondant toujours à la durée totale t’ et si nous les ajoutons membre à membre, nous aurons, après division par n, si n est grand :
Le premier membre est la moyenne qu’on notera ?‘ 2 des carrés des déplacements relatifs à la durée t’, le second terme du second membre s’annule s’il y a indépendance des déplacements successifs, et l’on trouve bien, puisque p est égal à t’/t :
?’ 2/t’ = ? 2/t = constante.
On peut caractériser par cette constante l’activité du mouvement brownien pour le granule considéré.
Contribution à l’ouvrage collectif édité à l’occasion
du premier congrès Solvay à Bruxelles :
La théorie du rayonnement et des quanta,
P. Langevin et al., éd., Gauthier-Villars, Paris 1912,
p. 191-192, § 26 : « L’activité du mouvement brownien ».
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D’après cette dernière égalité, la valeur de la constante signalée par l’auteur n’est autre que la valeur moyenne du carré des déplacements pour un temps t égale à l’unité de temps choisie (notre « pas de calcul »).
Insistons sur le fait que lors de la généralisation à n dimensions d’un mouvement isotrope, la valeur moyenne du carré du déplacement observé à n dimensions est simplement n fois plus grande que sa projection sur un axe, puisque, par le théorème de Pythagore, on a :
d2 = Sxi2, donc < d2> = S< xi2> = n<x2>.
Examen qualitatif de la formule d’Einstein (1905) sur le mouvement brownien
Fiche élève imprimable b : initialisation à la modélisation informatique du mouvement brownien
Dans son article sur le mouvement brownien de 1905, Einstein établit l’équation suivante :
L’importance de cette formule vient principalement de ce qu’elle montre que l’observation du mouvement brownien de particules microniques permet d’accéder à une détermination du nombre d’Avogadro NA.
On propose, pour conclure, un examen qualitatif de la formule d’Einstein, sans aucun élément de démonstration. On procède ici en deux temps :
Identification des grandeurs intervenant dans l’équation
NA |
Nombre d’Avogadro défini comme le nombre d’atomes dans 12 grammes de carbone 12. |
t |
Temps d’observation du parcours d’une particule brownienne. Le rôle de cette variable était tenu par la grandeur n (nombre de pas) lors de la simulation sur Excel. |
? |
Distance à vol d’oiseau parcourue en moyenne par une particule dans l’intervalle de temps t, quand on en répète la mesure un grand nombre de fois. ? est l’écart-type de la distribution statistique des distances parcourues en un temps t donné. |
?2 / t |
Contrairement à un mouvement directionnel, la distance moyenne parcourue n’est pas proportionnelle au temps écoulé, mais à sa racine carrée (voir la dernière feuille du fichier de simulation, puis la démonstration d’une propriété quantitative, plus haut). Cela traduit l’inefficacité de la marche au hasard. Si le déplacement moyen ? en une seconde est de 1 µm, au bout de 25 s, il est de seulement 5 µm. On constate ici que c’est la grandeur ?2 / t, indépendante du choix de t, qui caractérise « l’intensité » ou « la vivacité » du mouvement brownien dans la formule d’Einstein. |
R |
Constante des gaz parfaits R = 8,32 J K-1 mol-1. La présence de cette constante résulte de ce que, malgré la différence d’échelle, l’agitation des globules browniens répond aux mêmes lois que celle des molécules [équipartition de l’énergie]. Cette affirmation est au cœur de l’article d’Einstein (voir « Le mouvement brownien », en Repères). |
T |
Température en Kelvin. Cette grandeur est rencontrée ici pour la première fois par les élèves. |
p |
« Pi » = 3,14… |
? |
« eta » : viscosité du fluide dans lequel évoluent les particules browniennes. Dans le cas du lait, le fluide, c’est l’eau, dont la viscosité à la température ambiante est de 10-3 SI. La viscosité d’une huile est de l’ordre de 1 SI. |
r |
Rayon de la particule brownienne dont on suit le déplacement. Ce rayon est mesurable au microscope (contrairement à celui des molécules, 10 000 fois plus petites !). |
Observation et interprétation du lien
Observation et interprétation du lien entre les grandeurs reliées par l’équation, en les fixant toutes sauf deux au choix :
- Dans un milieu plus visqueux, et toutes choses égales par ailleurs, la formule prévoit que la diffusion caractérisée par ?2 / t diminue.
- De même, une particule brownienne de petit rayon r diffuse plus qu’une grosse.
- Si T augmente dans un même liquide, la formule prévoit que ?2 / t augmente aussi (car les autres grandeurs restent inchangées, en particulier NA !). C’est l’occasion de présenter naturellement aux élèves la notion de température absolue (et notamment le zéro absolu), comme grandeur indicatrice d’une plus ou moins intense agitation moléculaire qui est ici rendue perceptible par l’intermédiaire du mouvement brownien. On peut envisager de chauffer avec un briquet la lame sur laquelle est posée la goutte de lait précédemment observée pour mettre en évidence qualitativement le phénomène. Perrin (Les Atomes, § 74) cite Seddig (1908) selon lequel, lors d’un passage de 17 à 90° C, ?2/ t est multiplié par 4,0. Notons qu’une augmentation de T augmente la diffusion des particules browniennes dans un liquide, surtout parce que la viscosité diminue elle-même avec T.
- Enfin, l’agitation brownienne caractérisée par ?2 / t , qui est une grandeur mesurable, détermine le nombre d’Avogadro.
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