Thémadoc : L'Âge de la Terre

Kelvin, l'équation de Fourier et l'âge de la Terre

Niveau classes préparatoires

Fiche professeur

Objectif

Cet exercice invite à réfléchir sur le fait qu’une équation différentielle aux dérivées partielles dépend de fonctions arbitraires, qu’il faut donc préciser conditions aux limites et condition initiale. Il montrera aussi, à partir d’un exemple simple, l’importance de l’ordre des passages à la limite.

Propositions de réponses

1. On voit que ∀ t # 0, on a T(0,t) = 0. Plus précisément, en utilisant la valeur de l’intégrale gaussienne, on obtient que

lim_x→0 lim_t→0 T(x,t) = T₀

tandis que

lim_t→0 lim_x→0 T(x,t) = 0

Attention, les limites ne commutent pas ! On a donc bien vérifié conditions aux limites et condition initiale. Vérifions maintenant que

est solution de l’équation différentielle.
C’est direct : il suffit de dériver par rapport à la borne supérieure, deux fois par rapport à x d’une part et une fois par rapport à t d’autre part.

2. On obtient par ces dérivées successives que

ce qui donne bien la formule demandée pour x = 0.
On a ainsi relié le gradient de température, expérimentalement connu au temps t de refroidissement recherché.