Thémadoc : L'Âge de la Terre

Des méthodes de datation avec radioéléments

Niveau terminale S

Fiche professeur

L’utilisation des radioéléments pour la datation intervient dans le programme de physique-chimie de terminale S dans la partie appelée « Transformations nucléaires » :
« Le thème de la radioactivité est l’occasion d’opérer une convergence thématique avec les mathématiques (exponentielle, probabilité, statistiques et équation différentielle) et les sciences de la vie et de la Terre (datation). Une concertation entre les professeurs des trois disciplines scientifiques est encouragée. […]
« Concernant l’application à la datation, une concertation avec le professeur de sciences de la vie et de la Terre est encouragée. La datation par la méthode du carbone 14 est simple, car elle repose sur l’hypothèse selon laquelle le rapport ¹⁴C/¹²C dans l’atmosphère est en première approximation indépendant du temps. La radio-chronologie utilisant des noyaux à longue durée de vie (par exemple rubidium-strontium pour déterminer l’âge de la Terre), qui nécessite l’élaboration d’une méthode permettant de s’affranchir de la connaissance de la composition isotopique initiale de la roche, est envisageable plutôt dans le cours de sciences de la Terre. On réalisera les datations par méthode graphique et par le calcul. Les deux méthodes seront exigibles en fin d’année. » (Programmes Physique-chimie, terminale, série scientifique, CNDP, 2004, p. 26).

Rappel sur la radioactivité

Les noyaux radioactifs se désintègrent spontanément en émettant des particules (α, β). Une propriété remarquable de ce phénomène est la stabilité absolue de ces émissions. Leur probabilité par unité de temps est en effet totalement indépendante des conditions physico-chimiques (température, pression, pH, etc.) et elle n’a pas varié depuis la formation des noyaux par nucléosynthèse.
Si λ est la probabilité de désintégration par unité de temps, N(t) leur nombre à l’instant t et dN le nombre de noyaux se désintégrant dans un intervalle de temps dt, il est raisonnable d’écrire que dN est proportionnel à N et à dt, soit

dN = –λNdt

L’objectif de l’exercice 1, « Période d’un élément » est d’intégrer cette équation et de montrer que même un petit échantillon de noyau à période très longue (en milliards d’années) produit assez de désintégrations pour être détectées.

Propositions de réponses pour l’exercice 1 : période d’un élément

a. Par définition la probabilité de désintégration de 1 noyau dans un intervalle de temps dt est p = λdt (et q = 1-λdt qu’il ne se désintègre pas). Si les processus de désintégration des noyaux sont indépendants, on est dans les conditions d’application de la loi binomiale et donc le nombre moyen de noyaux qui se désintègre en N essais est Np, soit λNdt. Le signe - vient du fait que N(t) doit décroître. Comme dN/dt est proportionnel à N, on sait que la solution est une exponentielle (voir le cours de mathématiques). Soit :

b. Il faut résoudre

, soit

.

Après simplification, il reste

, ou encore

. Il est remarquable que ni N(0) ni t n’intervienne.

c. Comme 0.24 g d’uranium correspond sensiblement à 1/1000 de mole, l’échantillon contient 6.10²⁰ atomes. Comme dt = 1 an, on aura

,

ce qui correspond à une période de

, soit de 4,4 milliards d’années.

Deux exemples de datation avec des radioéléments

La radioactivité peut être utilisée comme une horloge pour dater des échantillons de matière. Pour que cette méthode soit applicable et fiable, il faut que les conditions suivantes soient remplies :
– des noyaux radioactifs d’une période comparable à l’âge de l’échantillon doivent être présents dans celui-ci, ainsi que des isotopes stables et non radiogéniques (c’est-à-dire qui ne résultent pas d’un processus de désintégration). En fait, les mesures les plus précises se font par spectroscopie de masse, méthode qui ne fournit que des rapports d’abondance ;
– l’échantillon doit être, depuis un instant qu’on considérera comme l’instant initial (t = 0), un système fermé, c'est-à-dire sans apport ni perte de matière contenant les noyaux qu’on va utiliser. Cette condition est remplie dans le cas d’une roche depuis le moment de sa cristallisation (arrêt de la migration ionique) ou depuis la mort d’un être vivant (arrêt du métabolisme).
Nous allons décrire deux méthodes parmi les plus simples conceptuellement (ce qui n’implique pas forcément plus faciles à mettre en œuvre).

Méthode I appliquée à la datation par le carbone 14

Les conditions suivantes sont remplies :
1) Le noyaux X est radioactif et son isotope X’ est stable et non radiogénique.
2) Le rapport de leurs abondances à l’instant initial (au moment ou le système se ferme)

est connu. Nous avons, dans ce cas (voir l’exercice 1) :

puisque la quantité de X’ ne varie pas.

Cette méthode peut s’appliquer aux isotopes du carbone, le ¹⁴C, radioactif de période de 5730 ans, et le ¹²C (stable et non radiogénique). Le ¹⁴C est produit dans les hautes couches de l’atmosphère terrestre par bombardement de l’azote par les rayons cosmiques. L’intensité de ce rayonnement n’ayant pas varié sensiblement au cours des dernières dizaines de milliers d’années, on en déduit qu’un équilibre s’est établi entre la production de ¹⁴C par le rayonnement et sa disparition par désintégration en ¹⁴N. Sous l’action de la pluie et des vents, le ¹⁴C se répartit à peu près uniformément sur toute la biosphère et le rapport ¹⁴C /¹²C dans celle-ci s’est maintenu sensiblement constant au cours des derniers millénaires. Ce rapport est d’environ 1,3.10^-12. Les êtres vivants absorbent le carbone exactement dans la proportion isotopique qu’il a dans la biosphère (pas de sélection chimique entre isotopes). À partir de l’instant de leur mort, le système se « ferme » : il n’y a plus d’apport de carbone extérieur et le rapport ¹⁴C /¹²C commence à décroître.

L’exercice 2 (datation au carbone 14) teste d’abord cette méthode sur un échantillon ancien dont l’âge est connu par ailleurs. Il examine ensuite la controverse au sujet du suaire de Turin.

Propositions de réponses pour l’exercice 2 : datation au carbone 14

I. a. Les 12 mg de carbone correspondent à 1/1000 de 6,02.10²³ soit 6,02.10²⁰ atomes déjà présents sur la chape du Moyen Âge. Soit N(0) le nombre d’atomes de ¹⁴C qu’elle contenait.
N(0) = 6,02.10²⁰ x 1,3.10^-12 = 7,826.10⁸. Or,

dN = –λN(t)dt = –λN(0)^e-λtdt (a)

avec

pour T = 5730 ans. Exprimée en jours, l’équation (a) peut s’inverser ainsi :

En prenant dN = 236,87

0,60, on obtient 750

21 ans. La mesure étant faite en 2007, ceci correspond à une date de 1257

21 après J.-C.
b. Cette datation est précise. Le décalage d’une trentaine d’année peut être imputé au temps qui sépare la cueillette du lin et le tissage de la chape.

II. Le nombre actuel N₁₄(t) d’atomes de ¹⁴C provient des P₁₄ atomes du polluant (récent, donc on peut en négliger la décroissance) et des L₁₄(0) atomes du suaire, qui décroît depuis un temps supposé t₂ = 2000 ans.

(1)

où

an^–1 si l’on prend une période de T = 5730 années.
Pour le ¹²C, qui est stable et non radiogénique, on a simplement

N₁₂ = P₁₂+ L₁₂

On connaît par ailleurs le rapport (approximativement stable) des deux isotopes dans toute la biosphère

P₁₄ / P₁₂ = L₁₄(0)/L₁₂ = c

On veut calculer le rapport R = P₁₂ / L₁₂ nécessaire pour qu’un échantillon de 2000 ans d’âge apparaisse comme en ayant 700.
Nous avons :

qui exprime l’âge apparent de t₁ sans pollution et

qui est une réécriture de l’équation (1)
Égalisant ces deux expressions, on arrive à :

Avec t₁ = 700 et t₂ = 2000, il faut un taux de contamination de R = 1,65, c'est-à-dire que pour trois atomes de carbone de l’échantillon il devrait y en avoir plus de deux du polluant pour que la mesure soit faussée dans les proportions soutenues par les tenants de l’âge traditionnel.

Méthode II appliquée à la datation par le rubidium/strontium

Les conditions suivantes sont remplies :
1) Le noyau X est radioactif et se désintègre en un noyau Y avec un taux λ.
2) Y est stable.
3) Y’ est un isotope de Y, stable et non radiogénique.
4) Le rapport N_Y(t)/N_Y’(t) est inconnu.
Nous avons,

N_X(t) = N_X(0)e^-λt

Propositions de réponses pour l’exercice 3 : âge de la Terre

a. Le nombre de noyaux Y à l’instant t égale leur nombre initial N_Y(0) plus ceux qui ont été formés, ces derniers égalant le nombre de X désintégrés. On peut donc écrire que :

N_Y(t) = N_Y(0) + N_X(0)(1 – e^-λt) = N_Y(0) + N_X(t)(e^λt – 1)

Ou encore :

puisque N_Y’(t) = N_Y’(0).

b. Dans le plan d’axes {N_X(t)/N_Y’(t), N_Y(t)/N_Y’(t)}, c’est l’équation d’une droite de pente e^λt – 1. Si, dans un échantillon, on dispose de plusieurs couples de coordonnées, par exemple des cristaux avec des inclusions de X/Y’ et Y/Y’ dans des rapports différents, il est alors possible de déterminer la date de « fermeture » de la roche. Cette méthode s’appelle la méthode isochrone. Bien d’autres méthodes existent, certaines faisant intervenir des cascades de désintégrations. L’exercice 3 (âge de la Terre) est une application de la méthode isochrone à la datation de la météorite d’Allende, qui est tombée au nord du Mexique en 1969.

c. Les isotopes utilisés sont le ⁸⁷Rb, le ⁸⁷Sr et le ⁸⁶Sr, qui jouent respectivement le rôle de X, Y et Y’. La probabilité de désintégration du ⁸⁷Rb est de λ = 1,42.10^-11 ans^-1. Sur la figure jointe sont représentés quelques-uns des rapports isotopiques mesurés par Gray et collaborateurs [C.M. Gray et al. Icarus, 20, 4330454] sur différentes parties de la météorite. Ajustant visuellement une ligne droite, on trouve une pente d’environ 0,064, ce qui correspond à un âge de 4,4.10⁹ ans pour cette météorite. Cette valeur est en bon accord avec les estimations actuelles de l’âge de système solaire.

Rapports d’abondance isotopique

(en ordonnées) en fonction du rapport

(en abscisses), mesurés sur la météorite Allende.

L’équation de la meilleure droite est y = 0,69878 + 0,06443x.
On pourrait penser que le point le plus à droite joue un rôle déterminant. Il n’en est rien : un calcul de la meilleure droite

avec ou sans lui donne le même âge de 4,39.10⁹ années. On peut donc croire aux 3 chiffres significatifs.

d. L'âge du système solaire (et de la Terre) est celui des plus vieux matériaux trouvés (météorites), c'est-à-dire de 4,65 milliards d'années. La météorite Allende est donc plus jeune ou, pour être plus précis, sa fermeture a eu lieu 290 millions d'années après la formation de ce système. La bonne linéarité de courbe y = f(x) indique qu'elle n'a pas subi de réouverture.
Sur Terre, on ne trouve pas de roches aussi anciennes à cause du brassage des matériaux de l'écorce terrestre (altération, tectonique des plaques...) qui ont provoqué des « réouvertures » des échantillons. Ce n'est pas apparent, mais à l’échelle des temps géologiques, la Terre flue : des matériaux migrent de la surface vers le noyau où les fortes températures et pressions les rouvrent.