Lorsqu’on s’intéresse à l’évolution temporelle d’un système, il semble à première vue qu’on doive se trouver placé devant deux situations bien tranchées :
– soit cette évolution procède du hasard, auquel cas on ne pourra rien prévoir ;
– soit elle est régie par une loi, auquel cas on pourra prévoir l’évolution.
Ces deux idées sont pourtant fausses.
Concernant la première, on pourra se reporter au Thém@doc sur le mouvement brownien, où l’on a montré que les « lois du hasard » permettent parfois de faire des prévisions très précises : par exemple, lors d’une marche au hasard, la distance moyenne parcourue par le marcheur va comme la racine carré du nombre de pas.
Nous traitons dans ce numéro de la seconde idée : comment, dans certaines situations, même quand on connaît la loi (déterministe) d’évolution d’un système, on ne peut rien prévoir au-delà d’une certaine échelle de temps.
Nous allons donner l’exemple peut-être le plus simple de chaos. On verra ensuite qu’il n’est pas si académique : il servira à l’étude de l’équation logistique.
Soit l’application
 modulo 1, avec 0 < s0 < 1.
Sur un cercle de circonférence unité, les valeurs sn peuvent être considérées comme les abscisses curvilignes des points obtenus par itération à partir du point initial d’angle au centre égal, en radian, à s0/2.
Par exemple si s0 = 0,132574379, on aura s1 = 0,32574379, s2 = 0,2574379, s3 = 0,574379, etc. Et pour s9 ? Tout dépend des décimales suivantes. En fait, cette application “interroge” les décimales successives de la condition initiale. Si l’on part de deux conditions initiales qui diffèrent à partir de la vingtième décimale, c’est-à-dire de conditions initiales voisines avec une précision de 10-20, on voit que les 20 premières itérations donneront des résultats voisins, mais qu’à partir de là les deux suites divergeront complètement : c’est ce que l’on appelle la propriété de « sensibilité par rapport aux conditions initiales ». Cette application est typique du chaos déterministe :
– l’application n’est pas linéaire ;
– l’ensemble des sn est borné ;
– la sensibilité aux conditions initiales a lieu pour toutes les conditions initiales ;
la suite des sn est partout dense sur la circonférence pour presque toutes1 les conditions initiales.
Prenons un second exemple : le billard de Sinaï. C’est un billard carré avec un champignon au centre. La boule supposée ponctuelle rebondit élastiquement sur les parois et contre le champignon avec la loi très simple .
Figure 1. Trajectoires voisines issues du point I : au bout de 5 rebonds, elles sont complètement différentes : l’une est en A, l’autre en B.
On a pu démontrer que ce mouvement était chaotique. Les trajectoires, sauf pour des conditions initiales très particulières, sont partout denses dans le billard : le système est dit ergodique. Ce modèle suggère fortement que le mouvement des molécules d’un gaz est également chaotique.
Dernier exemple : dans la partie « En pratique », nous développerons en détail l’étude de l’équation logistique
dont l’importance théorique et pratique (dans des variantes plus sophistiquées) est considérable.
Hubert Krivine,
maître de conférences honoraire
à l'université Pierre-et-Marie-Curie
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