Thémadoc : Le chaos

Étude de texte

Fiche professeur (terminales S et ES)

Sur le déterminisme et la prédiction...

Cette étude de textes peut être un prolongement de travail de la séance d’exercices sur le comportement itératif. Elle peut être proposée en complément lors d’un travail à la maison.

a) Ces deux textes ont essentiellement en commun une défense d’un matérialisme et d’un rationalisme radical. Le premier passage donné ici de Poincaré (« Tout phénomène, si minime qu’il soit, a une cause, et un esprit infiniment puissant, infiniment bien informé des lois de la nature, aurait pu le prévoir dès le commencement des siècles... ») est presque une copie de Laplace (« Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui composent,... »). Les deux auteurs ont aussi en commun de voir avec satisfaction le progrès de la science comme impliquant le déclin des superstitions. Là, il faudrait peut-être ne pas confondre les conditions nécessaires et suffisantes...
Les suites itératives illustrent bien ce déterminisme : étant donné

et la fonction

on peut connaître

pour

. Mais que se passe-t-il pour

grand ? Dans certains cas, la sensibilité sur la valeur de

est telle que la prévision devient impossible. C’est typiquement le cas pour la fonction

.

b) Contrairement à ce qui est souvent affirmé, ces deux textes ne sont pas contradictoires ; le déterminisme de Laplace est loin d’être aussi naïf qu’on le prétend. D’une part Laplace prend bien soin de préciser que, pour connaître l’état futur, il faut non seulement connaître parfaitement les lois (« les forces dont la nature est animée ») mais aussi les conditions initiales (« la situation respective des êtres qui la compose »). D’autre part, il ne faut pas oublier que ce qui apparaît comme le comble d’un déterminisme mécanique est publié dans un livre dont le titre (et le sujet) est Essai philosophique sur les probabilités...
Bien entendu, le texte de Poincaré qui, par bien des côtés répète celui de Laplace, est novateur en ce qu’il insiste sur le rôle des conditions initiales. La sensibilité des solutions à ces conditions peut en pratique interdire toute prévision au-delà d’un certain horizon. Et donc le fait de connaître la loi, dans les systèmes chaotiques n’implique nullement la capacité à prévoir. Paradoxalement même, c’est parce qu’on connaît la loi qu’on sait qu’on ne peut pas prédire. Il y a donc une distinction non évidente à opérer entre déterminisme (système régi par une loi) et prédictibilité.
On observera que, près de cinquante ans avant les travaux de Lorenz, Poincaré, en prenant l’exemple des prévisions météorologiques, avait anticipé ce qu’on appelle aujourd’hui « l’effet papillon ».
Une remarque enfin sur l’exemple donné par Poincaré du crayon posé sur la pointe. Ce n’est pas typiquement ce qu’on appellerait aujourd’hui du chaos parce que l’instabilité n’a lieu que pour une condition initiale

, où

est l’angle initial de l’axe du crayon avec la verticale. On réserve plutôt l’expression de chaos à des systèmes où la sensibilité aux conditions initiales se manifeste pour (presque) toutes les conditions initiales.