Thémadoc : Le chaos

Le déterminisme de la mécanique

La science moderne s’est constituée sur l’idée du déterminisme et sur le modèle de la mécanique. Selon cette conception, l’évolution d’un système dépend de son état présent et de l’action de son environnement. La notion d’état dépend du cadre conceptuel dans lequel on travaille : par exemple, elle n’est pas la même en mécanique classique et en mécanique quantique, mais nous n’entrerons pas dans cette distinction pour le moment, en nous plaçant dans le cadre de la mécanique classique.
L’état présent d’un système peut contenir une information sur le passé : ainsi, dans le cadre de la mécanique newtonienne, l’état d’un corpuscule matériel, c’est la donnée de sa position et de sa vitesse. La position dit où l’on se trouve, la vitesse indique aussi d’où l’on vient. Une loi d’évolution indique comment le système passe d’un état à un autre lorsque le temps s’écoule. En mécanique, l’environnement est représenté par la force résultant des interactions entre l’objet et ce qui l’entoure.
Notons que la loi d’évolution ne fixe pas l’état initial ; elle dit seulement comment cet état initial va évoluer. Le résultat du processus est une trajectoire. Il est important de réaliser d’emblée que c’est l’ensemble « loi d’évolution + état initial » qui permet le calcul des trajectoires.
Comment fixe-t-on l’état initial ? Si l’on est dans un cadre de simulation numérique, l’état initial est arbitraire, et l’on peut se donner, par exemple dans le cas d’un mobile, des valeurs arbitraires pour sa position et sa vitesse. S’il s’agit d’étudier un objet existant, par exemple le mouvement d’une planète autour du Soleil, l’état initial résultera d’une mesure à un instant donné.
Dans les deux cas, l’état initial n’est pas donné avec une précision infinie. Se pose donc la question de savoir comment se propagent, au cours du temps, les incertitudes inévitables sur les conditions initiales. On peut s’attendre à ce que les incertitudes croissent avec le temps, mais de quelle façon ? Si elles croissent, disons, proportionnellement au temps, nous pouvons être satisfaits : nous pourrons poursuivre le calcul de la trajectoire tant que l’incertitude est acceptable pour ce que nous désirons faire. Notre idée du déterminisme n’est pas remise en cause par cette croissance des incertitudes, pourvu qu’à chaque pas de temps les incertitudes relatives demeurent petites : nous conservons l’idée qu’à chaque instant, le couple « état + loi d’évolution » détermine l’état ultérieur.
Mais en est-il toujours ainsi ?
Reprenons l’exemple de la marche dite « au hasard ». Sur un réseau carré, un mobile se déplace de nœud en nœud selon la loi : à chaque pas, la probabilité de chacune des quatre directions est la même. Autrement dit, la position au (n + 1)-ième pas de temps ne dépend que de la position au nième pas de temps, il ne dépend pas de la position au (n – 1)-ième pas de temps. S’il faut réaliser la simulation pratiquement, comment allons-nous procéder ?
Nous pouvons prendre un dé équilibré à quatre faces (tétraédrique), et affecter une direction à chaque face.
La procédure comporte évidemment un implicite : c’est que le lancer de dé, répété un grand nombre de fois, produira des fréquences relatives égales pour les quatre faces. Plus précisément, sur N lancers, soit n_i ( i = 1, 2, 3, 4), le nombre de fois que le dé repose sur la face i. Nous supposons que

Or, le lancer d’un dé est un phénomène physique qui obéit aux lois déterministes de la dynamique. Comment acceptons-nous l’idée que ce processus simule bien le hasard ?
C’est que, d’un lancer à l’autre, nous changeons de façon incontrôlée, et à vrai dire incontrôlable, les conditions initiales. Or une petite variation de la rotation imprimée au dé, par exemple, fera que le dé retombera sur telle ou telle face. Comme nous sommes incapables de contrôler notre lancer, à moins d’être un remarquable tricheur, nous allons explorer également toutes les conditions initiales possibles, et ainsi nous simulons le hasard recherché.
Comme le dit Henri Poincaré dans Science et méthode : « Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir [ici, la retombée sur telle ou telle face], et alors nous disons que cet effet est dû au hasard1 ».

Nous voyons donc que le hasard n’est pas dû à l’absence de loi déterministe, mais à ce que l’on a appelé la propriété de sensibilité aux conditions initiales. On exprime par là le fait que deux conditions initiales voisines conduisent à des trajectoires qui divergent très rapidement avec le temps. On dit alors qu’on a une dynamique chaotique.

Sensibilité aux conditions initiales (SCI)

Une classe de systèmes très simples qui ont servi, et servent encore à explorer ces dynamiques chaotiques, est celle des billards à deux dimensions. Une particule ponctuelle suit des trajectoires rectilignes et lorsqu’elle atteint la frontière, subit une collision élastique avec réflexion spéculaire. C’est aussi la trajectoire d’un rayon lumineux lorsque la frontière est constituée de surfaces parfaitement réfléchissantes.

Comparaison de trajectoires dans un billard régulier et un billard chaotique

Un billard circulaire est régulier : une trajectoire obéit à certaines régularités. En particulier, la distance du centre à une trajectoire quelconque demeure constante au cours du temps, la déviation de la trajectoire lors d’une réflexion est toujours la même. Une façon commode de représenter une trajectoire consiste à enregistrer, à chaque rebond, l’abscisse curviligne sur le cercle et l’angle de déviation. Dans un repère (angle, abscisse), une trajectoire est donc représentée par des points qui se placent sur une ligne verticale (angle constant). Cette régularité a pour conséquence que deux trajectoires voisines demeurent voisines pendant longtemps.
En revanche, le stade constitué de deux demi-cercles réunis par deux segments de droite, est chaotique : une trajectoire, on le voit sur la figure, remplit peu à peu tout le stade. L’angle de déviation change à chaque rebond, par conséquent dans le plan (angle, abscisse curviligne), une trajectoire est maintenant représentée par un nuage de points sans aucune régularité. Deux trajectoires voisines divergent rapidement.
On trouve sur le site le l’université de Nice, une applet qui permet d’explorer le passage de la régularité au chaos dans un billard qui évolue depuis la forme circulaire à une forme de cercle tronqué. On peut choisir la troncature du cercle, les conditions initiales et le nombre de rebonds contre la frontière. Le résultat est très instructif.
Une des caractéristiques qui distinguent systèmes réguliers et systèmes possédant la propriété SCI a trait à la stabilité des trajectoires périodiques. La présence du chaos ne détruit pas l’existence de trajectoires périodiques (on peut d’ailleurs s’amuser à les rechercher dans le cas du cercle tronqué mentionné ci-dessus). Mais celles-ci sont instables, au sens où, si l’on change un tant soit peu les conditions initiales, la nouvelle trajectoire devient chaotique. Autrement dit, les trajectoires périodiques sont isolées, elles correspondent à des conditions initiales très particulières. Au contraire, lorsque la dynamique est régulière, la trajectoire voisine d’une trajectoire périodique est en général périodique. Il s’agit là d’une extension de la notion d’instabilité, introduite en mécanique pour caractériser un point de l’espace où la force est nulle, à celle d’instabilité dynamique, au sens que nous venons de définir.
Dans le cas général, les systèmes sont mixtes : pour certains ensembles de conditions initiales, la dynamique est régulière, pour d’autres, elle est chaotique.
http://www.unice.fr/

Instabilité dynamique : le système solaire est-il chaotique ?

Prenons l’exemple des orbites planétaires autour du Soleil. Nous savons depuis Kepler que ces trajectoires sont des ellipses ayant le Soleil pour un des foyers. Il s’agit donc d’une dynamique régulière. Mais cela n’est valable que pour le mouvement d’une planète autour du Soleil. Mais qu’en est-il de l’influence de Jupiter, par exemple, sur le mouvement de la Terre ? Ou de l’influence réciproque de Jupiter et de Saturne ? Newton lui-même n’ignorait pas cette question, qu’il discute en partie dans les Principia. Lagrange, Laplace, Euler ont proposé des contributions sur ce problème. Ils partent des paramètres constants caractérisant une trajectoire képlerienne : excentricité de l’ellipse, demi-grand axe, orientation du plan de la trajectoire, et se demandent comment la présence des autres planètes affectent ces grandeurs. Pour cela, Laplace linéarise les équations et montre que les orbites sont quasi stables : les grandeurs varient au cours du temps, mais de façon périodique ou quasi périodique (superposition de mouvements périodiques). Ces calculs sont affinés, notamment par Le Verrier au XIXe siècle, mais sans résultat fondamentalement nouveau.
À la fin du XIXe siècle, Henri Poincaré attaque le problème en considérant trois corps en interaction gravitationnelle, et montre, en créant à l’occasion un équipement mathématique couramment utilisé de nos jours (les « coupes de Poincaré ») qu’il est chaotique. Par exemple, si l’on considère deux masses fixes et une troisième masse contrainte à se déplacer sur une droite perpendiculaire à l’axe joignant les deux autres, on peut calculer les instants où cette troisième masse coupe cet axe. On trouve que la distribution de ces instants ne se distingue pas d’une suite de nombres aléatoires !
Depuis les années quatre-vingts, Jacques Laskar, au Bureau des longitudes, à Paris, a repris le problème dans toute sa généralité, c’est-à-dire en tenant compte des non-linéarités des équations. Le résultat montre que le système solaire est bien chaotique. Quelle est l’échelle de temps de la croissance exponentielle de la divergence de trajectoires voisines ? Jacques Laskar trouve que le temps de multiplication par 10 est d’environ 10 millions d’années. Cela signifie que si l’on commet une erreur de 150 mètres sur la position de la Terre à un instant, cette erreur devient 1,5 km au bout de 10 millions d’années, 15 km au bout de 20 millions d’années… et donc de 150 millions de km au bout de 100 millions d’années. Comme la distance Terre-Soleil est précisément de 150 millions de km, on voit que toute prévision précise de trajectoire est impossible à cette échelle de temps.
Cela ne signifie pas qu’on ne puisse plus rien prévoir. En réalité, toutes les grandeurs associées au système solaire ne sont pas chaotiques avec la même échelle de temps. Les grosses planètes extérieures, Jupiter, Saturne, Uranus, ont des trajectoires plus stables que les planètes telluriques. On peut donc calculer sur de grandes échelles de temps l’effet de leurs perturbations sur les planètes internes. On trouve par exemple qu’elles induisent des variations du plan de l’orbite terrestre sur des échelles de temps allant de quelque 40 000 à quelques millions d’années.

L’obliquité de la rotation de la Terre : un effet stabilisateur de la Lune ?

S’agissant du mouvement de la Terre, son axe de rotation, incliné d’un angle de 23 degrés par rapport à la perpendiculaire au plan de sa trajectoire (ce qu’on appelle son obliquité), varie avec une période de 26 000 ans environ : c’est ce qu’on appelle la précession des équinoxes. Newton avait montré que ce mouvement résultait de l’action combinée de la Lune et du Soleil sur une Terre non parfaitement sphérique. Cet angle fluctue de 1,5 degré environ au cours d’une révolution, et la modification résultant de l’ensoleillement de la surface de la Terre produit les périodes de glaciation. Jacques Laskar a montré que cette fluctuation était limitée par la présence de la Lune. Cela signifie que si, dans les simulations numériques, on fait disparaître la Lune, l’obliquité de l’orbite terrestre devient une variable chaotique qui se met à fluctuer entre 0 (axe de rotation perpendiculaire au plan de l’orbite) et 90 degrés (axe de rotation dans le plan de l’orbite, comme c’est le cas pour Uranus) ! Si une fluctuation de 1,5 degré est capable de faire passer d’une période glaciaire à une période interglaciaire, que dire d’une obliquité de 90 degrés ? Le jour dure six mois et la nuit autant…
Rassurons-nous : la Lune est bien là.
Mais inquiétons-nous : nous avons vu qu’à l’heure actuelle, la précession des équinoxes et l’influence des planètes extérieures sur le plan de l’orbite se déroulaient sur des échelles de temps différentes. Or, en raison des effets de marée, la distance Terre-Lune augmente au cours du temps, la Terre ralentit sa rotation, et la période de la précession des équinoxes augmente. Il se peut que, dans le futur, elle entre donc en résonnance avec les périodes associées aux changements du plan de l’orbite : dans ce cas, l’obliquité de la Terre aura une dynamique plus chaotique qu’actuellement, avec à l’évidence des conséquences sur les conditions de la vie sur Terre. On trouvera sur le site canalu la vidéo de la conférence que Jacques Laskar a donnée à l’Université de tous les savoirs.
http://canal-u.com/

Le chaos, condition de la prévision

Considérons le billard formé par un carré avec un plot circulaire central. On a pu montrer que ce billard possédait la propriété SCI. Or un gaz de molécules sphériques est très semblable à ce modèle : chaque molécule est un plot pour les autres, par conséquent les trajectoires sont chaotiques, et cette propriété assure l’uniformisation de la distribution des molécules et des vitesses. Dans ces conditions, on peut montrer que le gaz suit la loi des gaz parfaits, et que la distribution des vitesses suit la distribution de Maxwell-Boltzmann. L’établissement d’une loi macroscopique simple résulte ici du chaos moléculaire sous-jacent : celui-ci permet des traitements statistiques extrêmement puissants.
En fait, tout le programme de la physique statistique, qui est d’établir les lois macroscopiques entre variables d’état comme la pression, la température, le volume, les concentrations, le flux de matière etc., à partir des lois microscopiques entre constituants élémentaires, n’est rendu possible qu’au prix d’une hypothèse de chaos moléculaire qui implique une propriété qu’on appelle ergodicité. De quoi s’agit-il ? Un état macroscopique donné (par exemple, l’état d’une masse de gaz dans un certain volume à une certaine température) peut être réalisé par un grand nombre de configurations microscopiques (position et vitesse de chaque molécule), et l’on postule que, pour un système isolé, toutes les configurations microscopiques sont équiprobables. Les résultats que l’on obtient de cette façon correspondent bien aux propriétés de la matière à notre échelle, mais qu’est-ce qui peut justifier un tel principe ? Une dynamique microscopique chaotique est certainement une bonne justification. Comme dans le cas du billard en forme de stade, chaque particule va visiter tout l’espace disponible, d’où l’homogénéité du système.

Mais il se peut que les lois macroscopiques établies à partir de la dynamique chaotique sous-jacente présentent, à leur tour, des comportements chaotiques. Pensons à l’écoulement d’un fluide. Aux faibles vitesses, l’écoulement est laminaire, les éléments de fluide suivent des trajectoires régulières et prédictibles. Mais lorsque les vitesses augmentent, on entre dans le régime de la turbulence, laquelle réduit les possibilités de prédiction. Poincaré écrit dans Science et méthode : « Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors qu’ils jugeraient ridicule de demander une éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les régions où l’atmosphère est en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet équilibre est instable, qu’un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d’état de le dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses ravages sur des contrées qu’il aurait épargnées. Si on avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le savoir d’avance, mais les observations n’étaient ni assez serrées ni assez précises, et c’est pour cela que tout semble dû à l’intervention du hasard. Ici encore, nous retrouvons le même contraste entre une cause minime, inappréciable pour l’observateur, et des effets considérables, qui sont quelquefois d’épouvantables désastres2 » C’est, quatre-vingt ans avant l’heure, une description très précise de « l’effet papillon ». La météorologie a certes fait des progrès depuis, notamment grâce à un « maillage » plus serré, mais il est difficile de lutter contre la « divergence exponentielle » : le gain d’un facteur 10 sur la précision des conditions initiales n’implique nullement un gain semblable dans les prévisions.
Signalons au passage un contresens parfois effectué à propos de l’effet papillon. Il arrive qu’il soit assimilé à l’adage : « Petite cause, grands effets ». Mais en physique, c’est impossible : un papillon ne déclenche pas de cyclone, la conservation de l’énergie ne s’y retrouverait pas ! Le cyclone est là, le papillon peut éventuellement faire qu’il se déclenche « ici et non pas là », comme le dit Poincaré. En réalité, si un papillon peut faire cela, alors tous autres insectes du monde peuvent le faire aussi : l’effet papillon, lorsqu’il a lieu, est juste une façon imagée de parler de la SCI, et du fait que dans certaines conditions, on perd le pouvoir prédictif : s’il n’en était ainsi, on pourrait être tenté de retrouver le papillon coupable de tel ou tel cyclone !

Le climat à long terme

Remarquons d’abord que, s’il est difficile, voire impossible, de prévoir le temps qu’il fera dans quinze jours, nous sommes tous convaincus qu’en juillet prochain ce sera l’été en France. On prévoit mieux, en moyenne, la température à six mois d’intervalle qu’à l’échelle de deux semaines. La raison est claire : ce qui détermine les saisons, c’est l’inclinaison des rayons solaires sur la surface de la Terre, et le mouvement de la Terre autour du Soleil est parfaitement prévisible à l’échelle de l’année.
Avec le climat, on change encore d’échelle de temps, et donc de lois physiques. Les météorologistes appellent « climat » la moyenne de ce qui est observé sur une période d’environ trente ans. Ainsi, lorsque les climatologues du GIEC (Groupe d’experts intergouvernemental sur l’évolution du climat) calculent par simulations numériques l’évolution de la température moyenne de la Terre à l’échelle de cinquante ou cent ans, leurs résultats sont pertinents dans la mesure où ils s’interrogent sur les effets de la présence des gaz à effet de serre sur le bilan radiatif Terre-atmosphère-Soleil.
Autrement dit, prévoir le temps qu’il fera à une semaine ou quinze jours, c’est être capable de calculer des fluctuations aléatoires qui relèvent de la SCI. La divergence exponentielle des trajectoires limitera toujours les possibilités de prévision à une faible échelle de temps. Faire des projections à cinquante ans du climat moyen de la planète, c’est déterminer les conséquences moyennes, déterministes et non chaotiques des modifications de la composition de l’atmosphère.

Jacques Treiner

1 Henri Poincaré, Science et méthode, Flammarion, Paris, 1908, p. 68.

2 Idem, Livre I, ch. IV.