Thémadoc : Le chaos

Comportement d’un processus itératif

Fiche élève (terminales S et ES)

Exercice 1

Étudier la suite

(1)

en calculant

en fonction de

et n.

On se donne

, par exemple

.

Étudier numériquement (à l’aide de votre calculette) les suites

(2)

(3)

(on se donnera par exemple

)

(4)

(on prendra

.) Que se passe-t-il si l’on change la valeur de

?

Toutes ces suites peuvent s’écrire sous la forme

. Soit

une solution de l’équation

. On l’appelle point fixe.

Vérifier que les limites trouvées à l’exercice précédent sont des points fixes. Comprenez-vous pourquoi il doit en être ainsi ?

Exercice 2

Reprendre la suite (4) pour les valeurs

, 3.45 et 4. Aller au moins jusqu’à

.
Pouvez-vous au moins décrire ce qui se passe ?
Pour

, comparer les suites obtenues avec

.
On peut tirer deux conclusions :
– Le point fixe n’est pas nécessairement limite de la suite, même si la limite

est nécessairement point fixe.
– Dans une suite

, il peut se faire que la limite ne dépende pas de la condition initiale, mais il peut aussi se faire que les valeurs successives de

en dépendent très fortement. On dit alors que la suite est chaotique.