EN PRATIQUE
Mathématiques
Le chaos déterministe

Lycée, prépa


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Comportement d’un processus itératif
Fiche élève (classes préparatoires)
Exercice 1
On se donne, par exemple. Étudier numériquement (à l’aide de votre calculatrice) les suites

(1)
(2)
(on se donnera par exemple et)

(3)

(On prendra ) Que se passe-t-il si l’on change la valeur de ?
Donner une interprétation graphique des solutions.
Toutes ces suites peuvent s’écrire sous la forme. Soit une solution de l’équation. On l’appelle point fixe. Vérifier que les limites trouvées à l’exercice précédent sont des points fixes. Comprenez-vous pourquoi il doit en être ainsi ?
Exercice 2
Reprendre la suite (3) pour les valeurs , 3.45 et 4. Aller au moins jusqu’à. Pouvez-vous au moins décrire ce qui se passe ?
Pour, comparer les suites obtenues avec et.
On peut tirer deux conclusions :

– Le point fixe n’est pas nécessairement limite de la suite, même si la limite l est nécessairement point fixe.

– Dans une suite, il peut se faire que la limite ne dépende pas de la condition initiale, mais il peut aussi se faire que les valeurs successives de en dépendent très fortement.
Exercice 3
On reprend la suite (3), pour. Il semble que les suites paires et impaires soient convergentes. Pouvez-vous le démontrer ? Que se passerait-il pour de plus grandes valeurs de ?
Étudier le cas avec une astuce ; on pose. En déduire la sensibilité aux conditions initiales.

 
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