Thémadoc : Le chaos

Comportement d’un processus itératif

Fiche professeur (classes préparatoires)

Cette fiche complète la page correspondante consacrée à la terminale.

Prérequis

Du point de vue des connaissances formelles, une très bonne connaissance du programme de terminale scientifique est nécessaire. On y ajoutera la notion de suite de Cauchy.

Objectifs

C’est la même philosophie que pour la terminale : montrer, « expérimentalement » d’abord, comment peut se comporter un processus itératif. Mais ici, on insistera davantage sur les calculs analytiques.

Explications

Il faut peut-être plus rapidement qu’en terminale reprendre « l’expérimentation » numérique, introduire et expliquer la notion de point fixe, sa différence éventuelle avec la limite et ensuite procéder comme suit à l’étude plus détaillée.
On pourra rajouter la résolution graphique des équations de type

par intersection de la courbe

avec la bissectrice.

Surtout, on pourra démontrer ici que si1 la fonction

est telle que

alors

– le point fixe

est unique,

– la suite

converge vers ce point fixe.

En effet, supposons deux points solutions

à l’équation

.
Alors

qui implique

puisque

.

On va maintenant montrer que la suite

est une suite de Cauchy, donc convergente2 .

En multipliant ces inéquations positives entre elles, il vient

De l’inégalité triangulaire on tire

Ce qui démontre que

peut être rendu arbitrairement petit.
Si, de plus, la fonction

est dérivable, il résulte de la condition de Lipschitz que

Étude de l’équation logistique

C’est l’équation

(1)
On va d’abord montrer que si l’on veut que

pour tout n, il faut que

(étude du signe du trinôme du second degré).

Le point fixe de cette suite est manifestement

Calculons sa stabilité. On a

. La condition de stabilité implique

soit

. Voilà pourquoi la suite convergeait (vers le point fixe) quand

et divergeait pour

.
L’étude précédente (avec

) suggère que les suites paire

et impaire

sont convergentes (vers des limites différentes). On va montrer que ces deux suites admettent chacune un point fixe stable et trois autres instables. On a

Et les points fixes sont solutions de

Équation du 4e degré avec

comme solutions évidentes3. Reste donc une équation du second degré de racines

On remarque que comme

, par passage à la limite

.

Reste à vérifier que seules les deux dernières racines sont stables (numériquement, on retrouve d’ailleurs bien les résultats précédents). Le calcul de la dérivée de

se simplifie si l’on remarque (dérivée de fonction de fonction) que :

On remplace maintenant

par

, il vient que

Et la condition de stabilité du point fixe de chacune des suites paire et impaire impose

Voilà pourquoi, pour

, on trouvait que

oscillait entre deux valeurs. Maintenant pour

un peu supérieur à

, on voit que

, pour

grand, se fixe sur 4 valeurs, qui correspondent à 4 points fixes stables pour l’application

, puis quand on augmente un

, il y a 8 valeurs, puis 16, etc. Ce « doublement de période » se manifeste jusqu’à une valeur

Pour

, la situation devient complexe et des périodes impaires apparaissent.
Pour

, faire encore des expériences numériques et constater :

– pour un

donné, les

semblent totalement aléatoires, c'est-à-dire sans période finie ;

– pour un

donné, et des valeurs de

extrêmement proches, on trouve des

qui n’ont rien à voir.

Ici, on peut par une astuce exprimer

comme fonction de

et exhiber le chaos. En effet, posons :

l’équation (1) s’écrit

qui se résout, à cause des limites de

Soit

Montrer que si l’on écrit

en base 2, le passage

revient à décaler d’un cran vers la gauche l’écriture en base 2 de

. D’où la sensibilité extrême aux conditions initiales : une modification de la n-ième décimale change complètement la n-ième itération. Une autre façon de voir, écrire

Puis tenter de dessiner la fonction

pour

grand et constater la dépendance en

Moralité

Cette situation est caractéristique du chaos. Le système est régi par une loi très simple (l’équation 1) mais comme il est humainement impossible de connaître, dans un problème réel, toutes les décimales de la condition initiale, on ne peut rien prévoir à partir d’un certain rang.

1 On parle d’application contractante ou de condition de Lipschitz.

2 On s’est placé implicitement sur la droite réelle mais ce résultat serait valable sur tout espace complet, en particulier sur le plan complexe.

3 Il suffit d’appliquer

à l’équation