Thémadoc : Le chaos

Comportement d’un processus itératif

Fiche professeur (terminales S et ES)

Prérequis

Du point de vue des connaissances formelles, le programme de terminale scientifique ou économique est suffisant : notion de suite numérique convergente, théorème des accroissements finis et si possible également la notation en base 2.

Objectifs

L’idée est de montrer, « expérimentalement » d’abord, comment peut se comporter un processus itératif. On prendra des processus qui aient un minimum de sens commun, où donc l’intuition peut être bonne (ou mauvaise !) conseillère.
On étudie d’abord des suites de point fixe

stable de type

, avec

(qui tend vers le nombre d’or) ou

(qui permet le calcul de

). Dans ce cas

, quelque soit

. Cette étude est d’abord purement numérique (à la calculette).
Donc, à ce stade, l’étudiant peut croire (à tort !) que limite = point fixe.
Ensuite, on va étudier en détail à la calculette (ou avec un langage de programmation) la suite logistique

.
Elle nous servira d’exemple type pour introduire la notion de chaos déterministe.

– Restituer son contexte d’élaboration, à partir de Malthus (en relation, éventuellement avec le professeur d’histoire).

– L’étudier à la calculette suivant les différentes valeurs de

pour différentes valeurs de

– Conclure sur la notion de sensibilité aux conditions initiales (SCI), pour certaines valeurs de

. (Voir l’étude des textes de Laplace et Poincaré, ainsi que la notion de déterminisme en philosophie.)

Il faut un énoncé propre du théorème du point fixe. On le donne. L’étude analytique (exceptionnellement possible ici) dans le cas

permet de comprendre la sensibilité aux conditions initiales. Ce qui implique l’étude de la suite

.
Reprenons plus en détail les exercices.

Expérience

Taper sur la machine : COS, puis COS, n fois. Que voit-on ?
Réponse : quel que soit l’angle de départ, on trouve une convergence 0.739..., mais certains élèves vont trouver 0.99984... Pourquoi 1? Comprendre que l’on a réalisé la suite :

et qu’on en a trouvé expérimentalement la limite.

Généralisation

Considérer :

(1)
Exemple a)

(2)
Cas exceptionnel où l’on sait calculer

explicitement en fonction de

On voit que la limite existe quand

, qu’elle vaut 0 et ne dépend pas de

, la condition initiale 2.

Exemple b)

(3)

Exemple c)

(4)
Dans les cas b) ou c), essayer d’écrire

en fonction de

. Comprendre la complexité terrible de

comme fonction de

. Donc il faut faire autrement pour calculer la limite si elle existe quand

. Mais avant de procéder, on va s’aider de la calculette.

Expérimentations numériques

On reprend la suite b). On divise les élèves en deux groupes avec

. Et dans chacun des groupes en sous-groupes avec une condition initiale différente, par exemple

= 10. On fait programmer (ou calculer successivement) l’équation 3 sur les petites machines. On note au tableau en colonne les résultats pour les valeurs successives de

pour les différentes valeurs de

. On constate que les suites semblent tendre vers une limite qui dépend de

, mais pas de

. Et on devine vite qu’il s’agit de

.
On peut faire la même chose avec la suite c) pour

et constater qu’on converge aussi,

vers

Début d’explication

Si la suite

a une limite

c’est qu’au bout d’un certain rang

deviennent très voisins 3 de

et donc on doit avoir en passant à la limite

(5)
Faire vérifier que

sont bien solution de l’équation 5.
On peut vérifier aussi ce résultat avec la suite

où

(qui est le nombre d’or).

Problème !

On reprend la suite (c) avec cette fois successivement

. On divise les élèves en quatre sous-groupes en prenant

par exemple. Le programme en Fortran (par exemple) est très court :

write(*,*) 'a, xlambda'
read(*,*) xlambda,x
do i=1,14
x=x*xlambda*(1.-x)
print*, i,x
enddo
end

On trouve :

	2.00	3.20	3.45	4.00
1	0.319999993	0.512000024	0.551999986	0.639999986
2	0.435200006	0.799539208	0.85317117	0.921599984
3	0.491601914	0.51288408	0.432181865	0.289013773
4	0.499858946	0.799468815	0.846632421	0.82193929
5	0.499999975	0.513018966	0.447968602	0.58542043
6	0.5	0.79945761	0.853159904	0.970813394
7	0.5	0.513040423	0.432209343	0.113338947
8	0.5	0.799455523	0.846645236	0.40197292
9	0.5	0.51304388	0.447937846	0.961562753
10	0.5	0.799455523	0.853148878	0.147839263
11	0.5	0.513044417	0.432236224	0.503931284
12	0.5	0.799455523	0.846657872	0.99993819
13	0.5	0.513044477	0.447907776	0.0002472635
14	0.5	0.799455464	0.853138089	0.0009888094
15	0.5	0.513044536	0.43226257	0.0039513265
16	0.5	0.799455464	0.846670151	0.0157428551
17	0.5	0.513044536	0.447878331	0.0619800687
18	0.5	0.799455464	0.85312748	0.232554153
19	0.5	0.513044536	0.432288378	0.71389091
20	0.5	0.799455464	0.846682191	0.817002773

Il semble que pour

il y ait « deux limites » : 0.513044... et 0.799455... suivant la parité de

. Ce résultat se maintient quelles que soient les valeurs de

!
Pour

, on verrait « quatre limites » : 0.4478..., 0.8531..., 0.4322..., 0.8170... ! Enfin pour

, on ne voit aucune limite.
Ce résultat indique que la suite

ne converge pas (la limite, quand elle existe, est unique). De plus, la limite devrait être donnée par l’équation :

et qui ne correspond à rien pour

.
Où est l’erreur ?
C’est le problème de la réciproque : ce qu’on a démontré est que si la suite a une limite

, elle doit satisfaire l’équation

(6)
Mais la réciproque est fausse. On appelle point(s) fixe(s)

la ou les solutions de l’équation. Toute limite est point fixe, mais il faut examiner dans quel cas un point fixe est limite.

Stabilité du point fixe

Clairement, si l’on part de

exactement, la suite est convergente : elle est constante. Mais que se passe-t-il si

, ou plus généralement

, est voisin de

? Va-t-il s’en approcher (point fixe stable ou limite) quand

croît ou s’en éloigner (point fixe instable) ? Comme par définition

, on peut écrire :

Au voisinage de

, on peut écrire que

. Donc, en posant

, on se ramène4 à la suite géométrique

dont on sait qu’elle converge seulement et si seulement

Le point fixe

est donc stable si

Étude de l’équation logistique

C’est le nom 5 de l’équation. Si l’on veut que

pour tout

, il faut que

.
Le point fixe de cette suite est manifestement

Calculons sa stabilité. On a

. La condition de stabilité implique

soit

. Voilà pourquoi la suite convergeait (vers le point fixe) quand

et divergeait pour

.
L’étude précédente (avec

suggère que les suites paire

et impaire

sont convergentes (vers des limites différentes). On peut montrer que ces deux suites admettent chacune un point fixe stable et trois autres instables.
Pour

, faire encore des expériences numériques et constater :
– pour un

donné, les

semblent totalement aléatoires, c'est-à-dire sans période finie ;
– pour un n donné, et des valeurs de

extrêmement proches, on trouve des

qui n’ont rien à voir.

Figure 1. Comparaison des suites avec conditions initiales très voisines

(

) et

(

), pour

Ici, on peut, par une astuce, exprimer

comme fonction de

et exhiber le chaos. En effet, posons :

l’équation 4 s’écrit :

qui se résout, à cause des limites de

Soit

Montrer que si l’on écrit

en base 2, le passage

revient à décaler d’un cran vers la gauche l’écriture en base 2 de

. D’où la sensibilité extrême aux conditions initiales : une modification de la n-ième décimale change complètement la n-ième itération. Une autre façon de voir, écrire :

Puis tenter de dessiner la fonction

pour

grand et constater la dépendance en

Moralité

Cette situation est caractéristique du chaos. Le système est régit par une loi très simple l’équation 4 mais, comme il est humainement impossible de connaître, dans un problème réel, toutes les décimales de la condition initiale, on ne peut rien prévoir à partir d’un certain rang.

1 Ceux qui auront leur machine en degré !

2 Le cas

est particulier, la suite est constante

et donc convergente, mais évidemment la condition initiale est déterminante !

3 Pour les élèves de prépa, être plus précis et dire qu’on peut passer à la limite dans l’équation (1) si la fonction

est continue au voisinage de

4 Voir pour une plus démonstration plus précise la fiche professeur, classes préparatoires.

5 Malthus (1766-1834) voyait la population pauvre croître de façon géométrique, tandis que les ressources croissaient linéairement. Ce pasteur anglais était donc contre l’aide paroissiale qui ne ferait que grossir cet écart. Verhulst (1804-1849) va montrer que le taux de croissance de la progression géométrique de populations ne reste pas constant. Il décroît quand la population croît. Il écrivait

Avec

, où

représente le maximum de population admissible. Soit en posant l’équation