| Le mouvement brownien tous azimuts |
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 Robert Brown, botaniste, 1773-1858. Portrait d'Henry William, London, Sotheby's.
© Sotheby's-akg-images |
L’agitation « naturelle » de petits objets d’une taille de l’ordre du micron, mis en solution et à température ambiante, est une observation intrigante, réalisée pour la première fois par Robert Brown en 1827. Ce physicien anglais remarquait alors que des particules de pollen en solution dans l’eau étaient animées d’un mouvement incessant. Cette observation, réalisée un siècle et demi après les premières observations de bactéries et levure en mouvement, s’apparente d’abord à un mouvement « vivant », où chaque particule aurait un petit moteur vivant interne. Mais on sait maintenant que les particules sont parfaitement inertes. Le contexte historique de cette découverte aide à comprendre dans quelles dispositions intellectuelles étaient Brown et ses collègues et comment leur raisonnement s’est d’abord engagé dans cette voie du « vivant ».
Le début du XIXe siècle, qui correspond à l’époque de cette découverte, voit naître la « théorie cellulaire » selon laquelle tout être vivant est formé de cellules vivantes. Robert Brown observe des tissus vivants à l’aide des microscopes optiques de plus en plus performants, et il est le premier à décrire dans des cellules animales la présence d’une masse sombre et arrondie, le noyau (d’abord appelé nucléoplasme), en 1831. L’observation de 1827 fait donc d’abord penser à un mouvement actif : ces particules seraient « vivantes », d’autant plus qu’elles sont extraites de plantes. Brown considère alors que ses observations mettent en évidence une certaine « force vivante ».
Rappelons que ce n’est finalement qu’à la fin des années 1880 que des expériences plus systématiques montrent que le mouvement est plus rapide lorsque la taille des particules est plus petite, et que le mouvement est ralenti dans un solvant plus visqueux. Ensuite, au début du XXe siècle, avec Einstein en 1905 et Jean Perrin en 1908, on comprend que ces particules apparaissent plus agitées lorsque l’on augmente la température : l’énergie thermique (quelque kBT, c’est-à-dire quelque 4.10-21 joules) est transférée à ces petits objets en solution sous forme d’énergie cinétique, et c’est pourquoi ils sont en mouvement.
Mouvements « passifs » en biologie
Appelons donc ce mouvement brownien un mouvement « passif », puisqu’il n’est pas dû à la qualité de vivant de ces particules. Ce mouvement est de type diffusif, c’est-à-dire que la taille de la portion d’espace visitée par cette particule animée de mouvement brownien augmente en racine du temps. Autrement dit, si r est la distance du point initial, la valeur moyenne du carré de cette distance varie comme suit :
Nous sommes ici à trois dimensions, D est le coefficient de diffusion et t le temps (à t = 0, la particule est à l’origine). Le coefficient de diffusion D augmente avec la taille de la particule selon la loi :
Où η est la viscosité du fluide et a le rayon de la sphère. Dans de l’eau, ce coefficient de diffusion vaut, pour une particule de rayon 1 micron, D est de l’ordre de 2.10-11 m2/s.
La taille des objets « browniens » dont on peut facilement observer le mouvement à l’aide d’un microscope est le micromètre :
N’importe quelle cellule est formée d’un intérieur, et d’une membrane qui l’isole du milieu extérieur, mais cette membrane permet par ailleurs de réguler, par des canaux spécifiques, les échanges avec le milieu extérieur. À l’intérieur de la cellule se trouvent de nombreux organelles, mais aussi des filaments (voir image ci-dessous). Les filaments sont des espaces à une dimension, la membrane est une surface à deux dimensions, et l’intérieur de la cellule est, bien sûr, à trois dimensions. Cet aspect topologique est intéressant pour les réactions biochimiques dans la cellule. En effet, regardons attentivement une trajectoire de diffusion brownienne à trois dimensions (comme celle représentée dans Images et films du Thém@doc consacré à Einstein) , nous observons de nombreux espaces non visités par cette particule dans la portion de l’espace dans laquelle elle bouge. Par contre, imaginons la trajectoire d’une particule sur un fil : là, au contraire, l’ensemble de la portion du fil est visité. En deux dimensions, le cas est évidemment intermédiaire. On déduit de ce raisonnement que les réactions par diffusion sont plus efficaces à une dimension qu’à deux dimensions, et à deux dimensions qu’à trois dimensions. La nature tire partie de cette propriété, et un bon nombre de réactions dans la cellule a lieu à la membrane (ou à proximité des filaments), c’est-à-dire dans un espace à deux dimensions (ou à une dimension), plutôt qu’à l’intérieur de la cellule qui est à trois dimensions.
 Observation en microscopie optique d’une cellule humaine dans laquelle les filaments ont été teintés en sombre.
© The Art of MBoC3 @ 1995 Garland Publishing, Inc. |
Pour donner un ordre de grandeur, le coefficient de diffusion d’une espèce de 45 kilodaltons dans la cellule est de l’ordre de 10-12 m2s-1 (rappelons qu’un dalton est la masse d’un atome d’hydrogène, soit 1,66 10-24 grammes). Certains mécanismes cellulaires reposent sur la simple diffusion brownienne de ces protéines. Un exemple étonnant en est le mouvement même de la cellule. La plupart des cellules humaines se déplacent en polymérisant des filaments. Ces filaments d’actine sont formés d’un assemblage linéaire de monomères d’actine (de masse 45 kilodaltons et un coefficient de diffusion de 10-12 m2s-1) sous leur membrane. Ces filaments poussent ainsi en avant la membrane, et induisent une déformation qui initiera le mouvement global de la cellule. L’avant de la cellule risque donc de s’appauvrir en monomères au fur et à mesure que ceux-ci sont consommés dans la croissance des filaments. La seule diffusion est-elle bien suffisante à assurer le renouvellement de ces monomères à la membrane avant de la cellule ? La cellule se déplace d’environ un micromètre en une seconde. Pendant cette même seconde, les monomères vont diffuser sur une distance qui vaut  où t = 1s, donc cette distance est légèrement supérieure au micron. Les monomères d’actine diffusent donc, en une seconde, sur une distance qui est du même ordre de grandeur que le déplacement de la cellule. La seule diffusion est donc suffisante, à priori, pour amener à la membrane un nombre suffisant de monomères afin de mettre la cellule en mouvement.
Mouvements « actifs » en biologie
Bien sûr, la seule diffusion des protéines à l’intérieur de la cellule n’explique pas l’ensemble des mécanismes cellulaires. En effet, dans une cellule animale, on observe des mouvements « actifs » et souvent dirigés, générés non pas par l’énergie thermique, mais par une consommation d’énergie chimique à l’intérieur de la cellule. Ces mouvements dirigés permettent le trafic intracellulaire de manière plus efficace que la seule diffusion brownienne. Pour simplifier, les mouvements passifs subsistent lorsque la cellule est morte, alors que les mouvements actifs disparaissent. Cette distinction entre mouvements « passifs » et « actifs » est très importante en biologie. Il n’est pas toujours aisé de distinguer ces deux types de mouvements (actifs ou passifs) lors de l’observation de l’intérieur d’une cellule sous un microscope, et l’on verra plus tard que certaines bactéries à flagelles, bien qu’elles aient un mouvement de type diffusif, ne sont ni « passives » ni mortes.
Cependant, à l’intérieur d’une cellule, il est important de faire la différence entre un mouvement passif (comme la diffusion simple d’un type biochimique, d’une protéine par exemple) et le mouvement actif (porté par exemple par des moteurs moléculaires ou des assemblages actifs dynamiques). Une manière de le faire expérimentalement est de mesurer la taille de l’espace visité. Si cette taille d’espace varie en racine du temps, on a affaire à un mouvement diffusif. Si par contre elle varie de manière différente avec le temps, on est en présence d’un mouvement actif, et alors le biologiste voudra identifier la protéine et la réaction qui créé le phénomène. Expérimentalement, comme il est impossible de regarder sous le microscope les protéines de manière individuelle, qui sont très petites (de l’ordre de quelques nanomètres alors que le microscope optique ne résout que des objets de taille supérieure à une petite fraction de micron), les chercheurs ont recours à des marqueurs fluorescents qui émettent dans une longueur d’onde visible lorsqu’ils sont excités par une autre longueur d’onde. On peut alors suivre la position de l’ensemble de ces marqueurs (accrochés à la protéine d’intérêt) sous le microscope en fonction du temps. Une technique très classique pour connaître si le mouvement observé est de type actif ou passif est le FRAP (fluorescence recovery after photobleaching, ou recouvrement de fluorescence après photoblanchiment), qui tire profit du fait que ces marqueurs sont souvent détruits par un trop fort éclairement. Le principe de cette technique est de « photoblanchir » une région (qui apparaîtra noire sous le microscope) à l’instant t = 0. Ensuite, on mesure, toujours sous le microscope, si la région redevient fluorescente selon une loi de diffusion ou non.
 Principe du FRAP |
Notons que cette expérience peut être réalisée soit pour élucider un mouvement dans les trois dimensions de l’espace (à l’intérieur de la cellule), soit dans les deux dimensions de la membrane de la cellule, sur laquelle de nombreuses protéines se déplacent pour laisser entrer à certains endroits et à certains moments des ions par exemple.
Mouvements de bactéries, autopropulsion
Les bactéries, les microbes, les spermatozoïdes humains, ont en général une taille de l’ordre du micron, et sont donc animés de mouvements browniens. Bon nombre d’entre eux ont un flagelle qui « rectifie » ce mouvement brownien. On peut imaginer l’analogie avec des particules browniennes qui sédimentent, ou sont chargées dans un champ électrique, ou encore sont magnétiques et plongées dans un champ magnétique. Ces particules sont toujours agitées sous l’effet de l’agitation thermique, mais sont, de surcroît, soumises à une force extérieure qui les fait dériver dans une direction donnée (voir la fiche professeur, physicochimie de la partie « En pratique »). Certaines bactéries (prenons celles de la taille du micron) ou spermatozoïdes sont, de même, propulsés par leur flagelle qui les fait dériver dans une direction donnée. Calculons la distance parcourue par diffusion en une seconde : elle vaut quelques dixièmes de micron pour un coefficient de diffusion de 2.10-11 m2/s calculé plus haut. Par conséquent, si l’objet étudié a un mouvement actif de vitesse supérieure à quelques dixièmes de micron par seconde, le mouvement brownien sera négligeable. C’est le cas pour les spermatozoïdes humains qui ont un mouvement actif d’une vitesse de l’ordre de 10 microns/seconde. Interrogeons-nous tout d’abord sur leur environnement hydrodynamique.
Ces bactéries ont un environnement hydrodynamique peu habituel pour un humain : leur nombre de Reynolds est très faible, ce qui veut dire qu’elles sont dans un fluide très visqueux et en l’absence de tout effet d’inertie. Pour mémoire, le nombre de Reynolds est un paramètre sans dimension, obtenu à partir des équations de mouvement d’un fluide. Ce nombre indique le poids relatif des termes qui décrivent les forces d’inertie (forces nécessaires pour accélérer l’objet) d’une part et les forces visqueuses (forces dues au cisaillement visqueux) d’autre part. Le nombre de Reynolds est donné par :
où ρ est la masse volumique du fluide, η sa viscosité, a le rayon de l’objet étudié et V sa vitesse.
Pour un nageur dans une piscine nageant à 3 km/h, de 1 m de taille radiale, dans de l’eau ( η = 10-3Pa.s), le nombre de Reynolds vaut environ 103, ce qui veut dire que, dans ce cas, les forces d’inertie sont plus grandes que les forces visqueuses. Pour un spermatozoïde humain de taille 1 micromètre qui se déplace dans de l’eau à une vitesse de 10 microns/seconde, ce nombre vaut 10-5. Dans ce cas, les forces visqueuses sont prépondérantes par rapport aux forces d’inertie. Si nous voulions nous mettre dans les mêmes conditions que nos propres spermatozoïdes, nous devrions nager dans une piscine de graisse à une vitesse de 30 cm/heure. Pour « nager » et se propulser de manière effective, le spermatozoïde utilise un flagelle en mouvement asymétrique, c’est-à-dire que si l’on inverse le temps, le mouvement est différent. Il est important que le mouvement soit asymétrique : s’il ne l’était pas, le spermatozoïde ferait du surplace, vu l’environnement visqueux dans lequel il trempe. En effet, si l’on reprend le cas du nageur dans la graisse, on comprend bien que s’il bat des bras du haut vers le bas, quelle que soit la vitesse, vu qu’il n’y a aucune inertie, le nageur n’avancera pas. Le flagelle du spermatozoïde bat dans un plan, alors que d’autres flagelles tournent sur eux-mêmes (voir le cas des bactéries Escherichia coli plus bas). Dans le cas du flagelle qui tourne, vu, comme on vient de le voir, que son milieu extérieur est principalement visqueux, le mouvement ressemble alors à celui d’un tire-bouchon dans du liège. Notons bien ici que le milieu dans lequel le spermatozoïde évolue est de l’eau, qui n’est pas considérée comme visqueuse à notre échelle de nageur, mais qui est très visqueuse à l’échelle du spermatozoïde. En effet, à bas nombre de Reynolds (donc pour presque toutes les situations dans lesquelles nos cellules se trouvent), les effets visqueux sont prépondérants.
Les conditions hydrodynamiques dans lesquelles se trouvent les spermatozoïdes (ou notre nageur dans sa piscine de graisse) signifient aussi que lorsque le spermatozoïde (ou le nageur baignant dans la graisse) décide de s’arrêter, il le fait en une fraction de seconde puisque son inertie est totalement négligeable. Le même nageur, placé dans une piscine d’eau dans les conditions habituelles (son nombre de Reynolds est, rappelons-le, de l’ordre de 104 dans ces conditions) mettrait quelques secondes à s’arrêter à cause de son inertie.
Quittons les spermatozoïdes et prenons un autre exemple d’une bactérie à flagelles, la bactérie Escherichia coli, classique habitante non pathologique de nos intestins. Cette bactérie comporte non pas un seul flagelle, mais environ six qui sont disposés à sa périphérie (voir E. Coli Bacterium en ligne, www.astrographics.com/). Chaque flagelle tourne grâce à un moteur rotatif enfiché dans la membrane de la bactérie qui tourne constamment, mais peut changer de sens.
Lorsque ces flagelles tournent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, ils forment un faisceau synchrone qui propulse la bactérie efficacement vers l’avant dans une trajectoire appelée « run » en anglais. Si, par contre, les flagelles tournent dans le sens des aiguilles d’une montre, ils se désolidarisent les uns des autres, puis la bactérie bouge de manière erratique et tourne dans tous les sens, c’est la phase appelée « tumble » en anglais. Ces deux phases alternent et il en résulte un mouvement général aléatoire, à condition qu’aucun élément extérieur (par exemple une source de nourriture) ne vienne perturber ou orienter le mouvement.
On a donc ici le cas d’un mouvement actif (la bactérie consomme de l’énergie chimique) caractérisé par des séquences de lignes droites alternées aléatoirement avec des séquences de pauses. Puisqu’il est aléatoire, ce mouvement est diffusif, caractérisé par un coefficient de diffusion qui sera cependant supérieur à celui de la diffusion brownienne. Là, nous sommes donc capables de faire la différence entre mouvement passif et actif avec la connaissance de la valeur du coefficient de diffusion, et non pas seulement son existence.
Peut-on rectifier le mouvement brownien pour en faire un mouvement dirigé ?
Une idée naturelle pour utiliser cette énergie thermique transformée en énergie cinétique est d’imaginer un dispositif dessiné sur la figure ci-dessous : une roue à cliquet est solidaire d’une hélice symétrique, elle-même animée thermiquement. L’ensemble est maintenu à une température identique dans chacun des compartiments. Cette hélice tourne aléatoirement dans les deux directions. Par contre, comme elle est solidaire de la roue à cliquet, elle ne pourra revenir en arrière une fois que cette roue aura passé un cran. Il en résulte donc un mouvement dirigé et ce dispositif pourrait faire remonter un petit poids par exemple, définissant ainsi une machine générant du travail à partir d’un réservoir à température constante.
 Détail du principe d’une roue à cliquet |
Mais ce résultat violerait la loi de Carnot (voir : Est-il possible de violer le second principe de la thermodynamique ?) et, en réalité, ce système ne peut fonctionner qu’en présence d’une source d’énergie extérieure.
C’est le cas des systèmes biologiques qui biaisent le mouvement brownien par une source d’énergie supplémentaire. La source d’énergie dans la cellule est l’ATP (adénosine tri-phosphate) qui s’hydrolyse en ADP (adénosine di-phosphate). La puissance consommée par l’hydrolyse de l’ATP est inférieure à la puissance thermique, et l’effet du mouvement brownien devrait masquer totalement l’effet actif. Pour fonctionner, ces moteurs ont recours à une astuce : ils s’accrochent à un substrat, comme nous nous accrocherions à la rampe d’un pont de corde que nous devrions traverser par gros temps. C’est le cas des moteurs moléculaires, qui marchent sur les rails que forment les filaments de la cellule (actine ou microtubules), ce sont des moteurs linéaires. Ces moteurs moléculaires sont des petites molécules, ou des complexes protéiques capables donc de transformer une énergie chimique en une énergie mécanique.
Un autre exemple de ces moteurs est celui des moteurs rotatifs, enfichés dans une membrane, et c’est le cas du moteur rotatif qui fait tourner les flagelles des bactéries E coli. Il est composé de plusieurs centaines de molécules. Le plus petit moteur rotatif connu est le F1 ATPase qui se trouve à la membrane des mitochondries et sert à synthétiser l’ATP.
Un autre exemple de mouvement brownien rectifié est celui d’un polymère qui, au fur et à mesure qu’il polymérise, pourrait pousser un objet. Ce type de polymère, dans la cellule, est un filament d’actine ou un microtubule qui polymérise par consommation d’ATP (ou de GTP dans le cas d’un microtubule). Dans ce cas, le mouvement brownien de l’objet disposé près du bout du polymère en croissance finit par libérer un espace assez grand pour permettre l’insertion d’un monomère entre l’objet et le polymère. Ainsi l’objet ne peut plus diffuser en arrière une fois que le monomère est en place. La figure ci-dessous illustre ce mécanisme : le polymère, ou filament en rouge, est constitué de monomères qui peuvent s’assembler à une extrémité du filament. La position de l’objet, en vert, fluctue, et permet l’insertion de monomères.
 Mécanisme de l’assemblage de monomères à une extrémité d’un polymère
© Image obtenue de Scot Kuo, John Hopkins University, USA. |
Ce mouvement en avant est généré par un mécanisme de sauts de taille d’un monomère qui utilise l’énergie de liaison du monomère pour rectifier les fluctuations de l’objet.
Remarquons ici qu’on pourrait mener le même raisonnement sur les fluctuations thermiques du polymère : le bout du polymère fluctue et polymérise, poussant ainsi l’objet quand il revient à sa position précédente. Puisque le coefficient de diffusion d’un objet diminue proportionnellement à sa taille, on attend de ce type de mécanisme que la vitesse de l’objet varie de manière inversement proportionnelle à sa taille (voir « En pratique »). En conséquence, de gros objets bougent doucement (voir « En pratique »).
Utilisation du mouvement brownien dans des expériences de mesure de force en biologie
Les forces générées par ces machines moléculaires, dans la cellule, sont de l’ordre de quelques piconewtons à quelques nanonewtons, et il se pose alors la question de concevoir des machines capables de mesurer ces forces minuscules. Les chercheurs, ces dernières années, ont justement tiré parti du mouvement brownien pour réaliser un tel dispositif. Un exemple est l’utilisation d’aiguilles très fines, d’une épaisseur d’une centaine de nanomètres à leur extrémité, qui servent de senseurs de force. Le principe est très simple : comme n’importe quelle tige métallique, une telle aiguille est un ressort, c’est-à-dire que la déflection de son extrémité est proportionnelle à la force appliquée. Mais comment mesurer la raideur, notée k, d’un ressort si minuscule ? Justement en utilisant le fait que l’extrémité de l’aiguille s’agite à cause des fluctuations thermiques. On écrit alors que l’énergie thermique est fournie à l’aiguille et transformée en énergie mécanique :
où : 
est la valeur moyenne du carré des fluctuations de la position de l’extrémité. Cette position est mesurée en fonction du temps à l’aide d’un dispositif optique. On en déduit donc la valeur de la raideur de l’aiguille à son extrémité :
On peut donc ensuite, à l’aide de cette aiguille correctement calibrée en raideur, mesurer localement, par micromanipulation sous le microscope, des forces sur des objets biologiques.
Conclusion
Nous avons donc illustré dans cet article que, dans le Vivant, le mouvement brownien joue un rôle prépondérant, vu l’échelle de taille des objets dans une cellule. Il est toujours présent, parfois négligeable (le cas du mouvement des bactéries E coli qui sont très rapides), parfois dominant (cas des moteurs moléculaires), parfois utilisable même techniquement. Ce mouvement thermique est en tout cas incontournable en biologie.
Cécile SYKES
Pour en savoir plus
- Sur les bactéries qui peuvent se diriger sous l’effet d’un agent attractif, et qui constituent un sujet actuellement très actif et en plein développement en recherche, consulter les pages du site de l’ASC Flash Center de l’université de Chicago (http://flash.uchicago.edu/) où l’on peut télécharger des logiciels de simulation de ces bactéries en mouvement en présence d’un agent attractif.
- Sur le mouvement des bactéries, on peut consulter l’ouvrage de Howard Berg, Random walks in Biology, Princeton University Press, 1983.
- Une animation (en anglais) de type de moteurs est donnée dans le film « moteur kinésine Alberts », dans la rubrique « Images et films » du dossier. On voit dans cette animation que la molécule, soumise au mouvement brownien, arrive petit à petit à se glisser le long du filament (ici, un microtubule).
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