| Le mouvement brownien tous azimuts |
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 Prêts pour un nouveau lancé de dés ?
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Sans parler de la physique comme modèle de pensée « scientifique », plus modestement, les modèles de la physique ont souvent inspiré les économistes1. De ce point de vue, la physique statistique est particulièrement attirante : elle traite d’un grand nombre d’acteurs interagissant dont on peut oublier les déterminismes individuels pour ne s’intéresser qu’aux phénomènes collectifs. Il y aurait alors une micro et une macroéconomie, articulées comme les physiques microscopique et macroscopique. Dans ce qui suit nous nous contenterons de montrer comment l’étude du mouvement brownien a été historiquement utilisée en finances.
Le pionnier incontestable des mathématiques financières modernes est Louis Bachelier qui soutient en 1900 sa thèse2 avec Poincaré dans le jury. Ce qui est remarquable est que Bachelier va s’attaquer à ce qui sera la théorie du mouvement brownien développée cinq ans plus tard par Einstein. Pour une fois, paradoxalement, c’est la physique qui aurait pu s’inspirer des théories financières ! De fait, malgré son prestigieux patronage, les travaux de Bachelier sont restés méconnus. Justice lui sera rendue trente ans plus tard par le mathématicien soviétique Kolmogorov et surtout par la mise sur le marché en 1973 du modèle de Black et Scholes (prix Nobel d’économie en 1997). Ce modèle, fondamentalement inspiré de l’approche de Bachelier, va connaître un développement foudroyant à partir des années quatre-vingts. Son objectif était attirant (optimiser la politique d’investissement) et son utilisation très simple. Aussi, pratiquement tous les agents financiers vont l’utiliser avec enthousiasme dans le monde. Et ce jusqu’au krach boursier de 1998, précédé par la faillite retentissante en 1997 du fonds LTCM (Long Term Capital Management) conseillé par... Scholes. Cette utilisation continue, mais sans l’enthousiasme des débuts.
Nous allons d’abord expliquer l’approche de Bachelier, montrer ensuite comment elle va bien au-delà des problèmes de la spéculation boursière. Nous en montrerons ensuite les limites dans le cas des calculs financiers. Nous reviendrons en conclusion sur les leçons de ce modèle.
Une ressemblance troublante
Que peuvent avoir en commun le mouvement brownien et les cours de la Bourse ? On sait que le mouvement de la particule brownienne est causé par les chocs désordonnés des molécules d’eau. On peut, sans entrer dans le détail de ces chocs (remplacés par une température) rendre compte du mouvement de la particule, d’un point de vue statistique. De la même façon, la valeur actuelle d’une action est la somme de ses fluctuations passées, causées par les nombreux ordres de vente et d’achat. Le parallélisme est tentant. Illustrons-le par les figures suivantes. La première (fig. 1) indique les variations dans le temps de l’indice du CAC 40 en Bourse3, la seconde (fig. 2) une marche aléatoire, modèle idéalisé du mouvement brownien.
Figure 1 – Variations de l’indice CAC 40 : à gauche par minute, à droite par mois, de 1992 à 2005.
Deux observations s’imposent :
— à l’œil4, les courbes ont globalement même allure ;
— elles offrent toutes les deux la propriété d’autosimilarité, c’est-à-dire qu’elles conservent cette allure quelle que soit l’échelle de l’abscisse.
On verra cependant plus loin que cette ressemblance peut être trompeuse.
Notons que sur un problème aussi simple en apparence, il y a des résultats non triviaux et contraires à l’intuition. Par exemple le gain Sn n’oscille pas en permanence autour de 0 ; au contraire il reste longtemps dans une zone gagnante (ou perdante, bien sûr ! ).
Figure 2 – Marche aléatoire. Zooms successifs (voir les échelles).  représente le nombre de pas (le temps) et  la distance algébrique à l’origine (le gain ou la perte).
Approche de Bachelier
Considérons un actif financier (une action, une obligation, un cours en Bourse, le prix de la tonne de sucre, etc.). Son prix  , qui fluctue de façon erratique, peut être considéré comme la somme de ses variations (à laquelle on ajoutera à la fin sa valeur initiale  . Simplifions en supposant que :
— les variations ne peuvent prendre que les valeurs  et ce avec la même probabilité5,
— ces valeurs sont prises à des pas de temps réguliers  ,
— les variations sont des variables aléatoires indépendantes6 .
Nous discuterons plus loin l’importance et la validité de ces points. Écrivons que l’événement « le prix de l’actif vaut à l’instant  » résulte de deux événements disjoints de probabilité  : « il valait s – h ou s + h à l’instant antérieur  . On a, avec des notations évidentes :
Soit en retranchant  aux deux membres :
On suppose que est une fonction continue et qu’elle admet un développement de Taylor, en se limitant à l’ordre le plus bas en  et h, il reste
 (1)
 (2)
Si l’on suppose maintenant que les pas en temps et dans l’espace tendent vers 0, mais de sorte que  reste fini, on a affaire à une équation différentielle aux dérivées partielles. On vérifiera que l’équation suivante est une solution7 de cette équation.
On donnera à l’exercice 2 (fiche élève, rubrique « En pratique ») une dérivation combinatoire directe de cette équation.
est devenue une densité continue de probabilité. Ce qui veut dire que la probabilité que le prix de l’action soit compris entre et  peut s’écrire
 (3)
Il est remarquable que Bachelier ait ainsi retrouvé l’équation de la chaleur (1). Il a appelé « le coefficient d’instabilité » ou de « nervosité de la valeur ». Aujourd’hui, on parlera plutôt de volatilité du cours qu’on associe au risque. Comme on peut le constater, cette approche préfigure celle d’Einstein.
Deux applications
Rappelons d’abord que si  est une variable aléatoire de densité de probabilité  , et un domaine de variation de  on a
 (4)
La valeur moyenne de est donnée par
 (5)
et sa variance  par
 (6)
La gaussienne (3) a une valeur moyenne égale à et une variance égale à  . Voir l’exercice 1 (fiche élève, rubrique « En pratique »).
Détermination de la prime
Le problème est le suivant. On se place au temps  À un temps ultérieur (temps de maturité), un industriel aura besoin d’acheter un actif Soit  son prix (inconnu) à ce moment. Il est prêt à payer une prime à un courtier pour être certain de ne pas payer alors cet actif plus de  (prix d’exercice). C’est une assurance (option d’achat) contre une montée éventuelle des prix. Si  , il réalisera un gain de  . Si la valeur de la prime est un peu supérieure au gain moyen attendu, tout le monde y gagne : le courtier qui, sur l’assise de beaucoup de clients, ne dépensera que  (valeur moyenne du gain quand il est positif), et son client qui achètera à un prix  .
Le calcul est simple : quelle est la probabilité pour que le prix d’un actif soit  à un instant ? Ce sera en fonction de l’équation (4)
Le gain (moyen) sera (voir l’équation 5)
Avec  , on voit que ce bénéfice vaut  : il croît donc en  , ce qui est « un des résultats les plus importants de notre étude8 ».
Calcul du temps optimal
On peut montrer qu’au temps
 (7)
la probabilité pour que l’actif soit compris entre  et  est maximale (voir l’exercice 3 de la fiche élève, rubrique « En pratique »).
Marche au hasard et problème de ruine
Les paragraphes qui suivent empruntent à l'ouvrage de Feller et Willey (cf. « Pour aller plus loin » dans la partie « Repères »). On considère deux joueurs. Soit  le capital total des deux joueurs et  le capital initial du joueur 1. À chaque essai, ce joueur a une probabilité  de gagner 1 unité et  de la perdre (et réciproquement pour son adversaire). Le jeu consiste en une série d’essais qui se termine quand le capital du joueur est devenu  (ruine) ou (victoire). Nous allons calculer la probabilité de ruine et le temps moyen de jeu.
En terme de marche aléatoire, on parle de marche (ou de processus de Markov) avec barrières absorbantes en  et  Si  et  , c’est le problème du premier passage à l’origine.
Soit  la probabilité de ruine du joueur de capital initial (et ce sur un nombre fini, mais « grand » d’essais) et  sa probabilité de victoire. On verra que  .
Calcul de qz
Comme après le premier jeu le nouveau capital du joueur est  avec une probabilité et  avec la probabilité , on a en général :
 (8)
puisque l’événement « le joueur avec capital initial perd » résulte de la réunion de deux événements disjoints (obtenus au deuxième essai) « le joueur avec capital initial perd » ou bien « le joueur avec capital initial perd ». Sauf si  auquel cas  ou  auquel cas  On posera donc  et  pour que la relation (8) soit toujours vraie pour  .
Supposons  L’ensemble des solutions (8) forme un espace vectoriel de dimension 2. Manifestement  et  sont deux solutions indépendantes. La solution générale est alors :
Les conditions aux limites et déterminent  et  Soit :
 (9)
On voit facilement que si  , ( On pourra poser  et faire un développement limité au second ordre en  )
 (10)
On vérifie aussi par le changement  et  que .
Limite quand (adversaire infiniment riche). Les deux cas :
—  ,
—  , et ce  9
peuvent se traduire en terme de marche au hasard (à  par le théorème :
la probabilité de passage à l’origine est 1 si et  sinon.
Calcul de la durée moyenne de jeu
Soit  cette durée. On va raisonner comme précédemment et établir que
En effet, au deuxième essai, la fortune est soit soit avec les probabilités et mais il faut compter un temps de plus également. Les conditions initiales sont  Si l’ajout d’une solution particulière de l’équation avec second membre à la solution générale de l’équation homogène donne :
Et les conditions initiales imposent :
Si  par passage à la limite on obtiendra :
C’est une durée beaucoup plus longue que celle qu’on croit généralement. Par exemple, si deux joueurs misent chacun 10 $, à 1 $ la partie, en moyenne il faudra faire cent parties pour que l’un des joueurs soit ruiné.
Maintenant, si (un adversaire infiniment riche) et fini, il y a deux cas :
—  alors  ;
—  alors 
Là encore le résultat est contre-intuitif.
Limites du modèle
En fait, le modèle de Bachelier est très simple ; il considère que le prix d’un actif est somme de ses variations (augmenté de sa valeur initiale, qu’on prendra nulle pour alléger l’écriture). Soit :
Et donc que sa loi de distribution est donnée par le théorème de la limite centrale (TLC). Soit :
 (11)
avec  où  est la variance des accroissements 
On retrouve évidemment l’équation 3 avec   et  .
Mais il y a deux limitations fortes à cette approche.
La première est que le théorème de la limite centrale est une loi asymptotique, d’autant mieux vérifiée bien sûr que  est grand, mais aussi que est petit. Les queues de distribution ne sont jamais bien reproduites (par exemple dans l’équation (3), peut varier sur tout  même si la variable aléatoire dont elle est la somme est bornée).
La seconde est que le théorème de la limite centrale suppose des hypothèses contraignantes :
— les tirages des sont indépendants ;
— ils peuvent obéir à une loi de probabilité quelconque, pourvu que cette loi ait un  fini et constant (loi étroite) ;
— le temps peut être considéré comme une variable continue.
Ces trois hypothèses sont mal ou pas vérifiées empiriquement.
Dans l’économie réelle, les variations de valeurs peuvent être fortement corrélées10, l’effet « moutonnier » existe (cf. André Orléan, in Les Mathématiques sociales, « Pour aller plus loin »). Empiriquement, ces variations ont des queues de probabilité qui sont plutôt en loi de puissance (  , avec  ) ; ce sont des lois de Lévy (lois larges). Par ailleurs, les temps séparant les achats (et les ventes) peuvent être très brefs (de l’ordre de la seconde peut-être avec l’internet), ils ne sont pas infiniment petits. On a là un problème général souvent sous-estimé : dans les processus dynamiques, le passage en temps continu n’est pas anodin ; il peut même faire disparaître des solutions divergentes.
Le modèle de Black et Scholes (et ses innombrables variantes) est universellement répandu11. C’est une stratégie de portefeuille fondée sur une formule qui est une sophistication du modèle de Bachelier. Par exemple, on considère plutôt la variation relative des actions  donc les distributions des actifs deviennent lognormales :
Il suffit de changer, dans la gaussienne, en  et donc aussi  en  . Il en conserve néanmoins les trois présupposés mal ou pas confirmés expérimentalement.
Tout cela fait que les queues de distribution prévues par ce genre d’approche sont mauvaises : les événements « anormaux » mais économiquement significatifs sont infiniment trop rares 12. On comparera dans la partie « En pratique » des distributions étroites et larges et on en verra les implications en finances.
Bien des amendements ont été depuis portés au modèle de Black et Scholes pour rendre compte des données empiriques. Par exemple, on introduit une « volatilité effective » dépendante du temps qui est une nouvelle variable aléatoire ; c’est elle qui concentre pas mal d’informations manquantes. Pour les développements modernes, voir « Pour aller plus loin » l’article de Benoît Mandelbrot, qui propose l’utilisation des fractales dans les Mathématiques sociales et Bouchaud et Potters dans la Théorie des risques financiers.
Conclusion
Dans le rapport de thèse signé par Poincaré, il était – déjà – sagement écrit : « il [Bachelier] s’efforce de fixer les limites dans lesquelles on peut avoir légitimement recours à ce genre de calculs et je ne crois pas qu’il soit dupe de ses formules... ». Traiter par les moyens de la physique statistique les bases de données gigantesques de la finance est une idée captivante. Mais ici comme ailleurs, la beauté, voire la simplicité ou l’élégance d’un modèle, n’est pas un gage de son adéquation.
Hubert KRIVINE
Pour aller plus loin
- Feller W., Wiley H. An Introduction to Probability and its Applications, 1968, 1971. Un grand classique qui contient de nombreux exercices.
- Les Mathématiques sociales, dossier hors série, Pour la Science, juillet 1999.
- « L’algorithme de Newton-Hooke », P. Coulet, M. Monticelli et J. Treiner, Bulletin de l’Union des professeurs de physique et de chimie, n° 861, vol. 98, février 2004.
- Krivine H., Lesne A. et Treiner J., « Discrete and Continuous-time Modeling : some Bridges and Gaps », Mathematical Structure in Computer Science, 2005.
- Bouchaud J.-Ph. et Potters M., Théorie des risques financiers, Alea Saclay, 1997.
- Bouchaud J.-Ph., « Les caprices des marchés financiers : régularités et turbulences », in Images de la physique, 2002, CNRS.
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