| Le mouvement brownien tous azimuts |
Lycée
Classes préparatoires
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Fiche professeur
Niveau
Classes préparatoires scientifiques ou écoles de commerce.
Objectifs
Montrer comment on peut construire un modèle dans une discipline qui n’est pas la physique.
Mettre en garde sur l’importance de la rigueur : le prix à payer en pratique quand les hypothèses de base sont violées.
Montrer comment la connaissance des mathématiques permet la résolution de problèmes autres que ceux de robinets !
La partie « Repères » de ce dossier esquisse un peu la philosophie de l’utilisation du mouvement brownien en finances. Elle traite également du problème classique de la ruine des joueurs.
Cette fiche rappelle la loi des grands nombres, énonce sans démonstration le théorème de la limite centrale et compare des tirages de variables aléatoires à distribution de probabilité « large » et « étroite ».
Prérequis
- En analyse, les connaissances habituelles sur l’intégrale, le développement en série de Taylor au second ordre d’une fonction de deux variables, la résolution d’une équation du type :
- En probabilité, les connaissances de terminale S ou ES. La principale difficulté est la définition des probabilités avec une variable aléatoire continue. Elle a été un peu vue avec la loi de décroissance radioactive des noyaux. Le plus simple est d’introduire la notion de variable aléatoire continue (comme la taille des individus), de donner l’exemple de la variable aléatoire X tirée uniformément sur le segment [0,1], de calculer son espérance E(X) et sa variance.
La méthode, le cheminement et le TD complet se trouvent dans la fiche élève.
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