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Le mouvement brownien
PRÉSENTATION
Le mouvement brownien n’est pas suffisamment enseigné dans les cursus scolaires et universitaires de base, alors qu’il constitue un phénomène fondamental d’une grande importance conceptuelle. Il est souvent considéré comme une curiosité, et l’on mentionne les observations de Robert Brown comme des anecdotes sans prolongement. Combien sont les étudiants de sciences qui ont effectivement observé un mouvement brownien ? Il est actuellement proposé comme une activité du programme de physique de seconde, pour donner une vision microscopique préalable à l’étude sur les gaz. Mais les questionnements qui s’y rapportent méritent qu’on y revienne. À l’université, le mouvement brownien ne sert pas vraiment de support de cours pour une raison toute simple : on n’envisage de le traiter que lorsque l’on est en mesure d’en faire une théorie complète, c'est-à-dire en mastère. Mais arrivé là, va-t-on perdre du temps à montrer des petites particules qui s’agitent ? L’Année mondiale de la physique a permis de corriger un peu la perspective, puisque ce fut l’occasion de rappeler, à travers un des articles d’Einstein de 1905, que la compréhension du mouvement brownien était à l’origine de l’acceptation générale de la discontinuité de la matière. Nous prolongeons l’analyse ici, en explicitant comment les particularités de telle ou telle situation en physique, en chimie, en biologie ou en économie, permettent d’enrichir la notion initiale, généralisée par les mathématiques sous le terme de « processus markovien » dans lequel le futur ne dépend du passé que par l’intermédiaire du présent. Jacques TREINER
REPÈRES
Introduction
L’importance du résultat appellera d’autres travaux. Marian von Smoluchowski introduira la notion de « marche aléatoire » et publiera ses travaux en 1906 ; Paul Langevin donnera la formulation moderne du problème en 1908 en considérant une équation stochastique, c’est-à-dire une équation dynamique comportant une force aléatoire.
Aujourd’hui, le mouvement brownien se retrouve partout : il fournit la base de la compréhension de tous les phénomènes diffusifs présents dans les systèmes chimiques et biologiques, mais aussi en économie. En effet, le pas élémentaire de la marche aléatoire n’est pas nécessairement un déplacement spatial. En 1900, Louis Bachelier avait développé une théorie des fluctuations boursières à partir d’une approche de marche aléatoire, et ces approches ont été reprises et enrichies dans les années 1970. C’est ce cheminement que nous allons retracer maintenant. Universalité Le développement des idées théoriques
On peut dire que la caractéristique essentielle du mouvement brownien réside dans une façon très particulière de transporter la matière. En effet, alors que dans un mouvement « habituel », balistique, le déplacement est proportionnel au temps, pour une particule brownienne, c’est le carré du déplacement moyen qui est proportionnel au temps. Puisqu’il est quantifiable, le mouvement brownien est reconnaissable : nous verrons qu’il peut être intéressant, notamment en biologie, de pouvoir distinguer un tel transport diffusif, dit passif, d’autres modes de transport de la matière.
L’article d’Einstein de 1905 ne met pas particulièrement l’accent sur cet aspect du mouvement brownien, bien qu’il le contienne. Son objectif, en effet, était de proposer une méthode pour déterminer le nombre d’Avogadro NA, et partant, de convaincre de la réalité des atomes. La relation qu’il établit dans cet article, et que l’Australien William Sutherland établit indépendamment à la même époque, relie deux phénomènes à priori distincts, à savoir la diffusion de particules dans un fluide, et la dissipation visqueuse :
(D : coefficient de diffusion ; T : température absolue ; k : constante de Boltzmann, rapport de la constante des gaz parfaits à NA ; a : rayon des particules en suspension ; ? : viscosité du fluide). L’importance et l’originalité de cette relation tient au point de vue qui permet de l’établir. En effet, la loi empirique de la diffusion était connue depuis longtemps. C’est en 1855 qu' Adolf Fick, physiologiste allemand, réalise une série d’expériences à la fois simples et élégantes pour justifier la « première loi » de la diffusion, qui relie le transport d’une espèce au gradient de sa concentration dans un fluide (en l’occurrence, du sel dans de l’eau). Si ce gradient n’a de composante non nulle que selon une dimension, cette loi s’écrit : 
De la première loi de Fick, on déduit la « seconde loi ». Elle exprime, à partir de la relation (1), le bilan des entrées-sorties dans un petit volume :
L’équation (2) a notamment comme solution la fonction :   0 n’est autre que la distribution de Dirac d(x).] :
 Cette solution représente par exemple l’étalement d’une petite goutte d’encre dans l’eau : on voit, en l’absence de convection, le carré du rayon de la tache croître linéairement en fonction du temps. Tout cela est connu en 1905. Qu’apporte donc Einstein ?
Le deuxième ingrédient de l’équation (1) est lié à la viscosité. Là aussi, l’expression de la force qu’un fluide exerce sur une particule sphérique, de rayon a, en mouvement à faible vitesse, est connu depuis que George Stokes, mathématicien et physicien d’origine irlandaise, l’a calculée dans son traité de 1846 :  Reste à mettre ces différents éléments ensemble. Le raisonnement est le suivant : en solution, on est en situation de frottement dominant, le mouvement inertiel est amorti sur une échelle de temps très brève. Sous l’effet d’une force extérieure constante, les particules acquièrent une vitesse limite donnée par l’expression de Stokes, et un gradient pression s’établit dans le liquide. Le phénomène de pression osmotique, connu lui aussi depuis les années 1880, montre qu’elles se comportent comme un gaz parfait. C’est là qu’apparaît le nombre d’Avogadro. Il ne suffit plus, à l’équilibre, que d’égaliser le flux de particules soumises à la force extérieure et le flux contraire de particules diffusantes pour obtenir la relation (1). Dans le résultat final, la force extérieure invoquée disparaît, elle n’a servi que d’intermédiaire. Ce qui reste peut alors être interprété d’une nouvelle façon. Le phénomène de diffusion résulte d’un processus purement aléatoire. Si la diffusion des particules a lieu dans la direction du gradient décroissant, c’est tout simplement parce qu’elles ont des probabilités égales d’aller dans toutes les directions, et qu’il y en a donc plus, en moyenne, qui vont des concentrations élevées vers les concentrations faibles que le contraire. Mais les particules diffusent même lorsque la concentration est homogène. Rien ne se passe à l’échelle macroscopique parce que les flux sont les mêmes dans toutes les directions. Que se passe-t-il alors du point de vue énergétique ? La particule brownienne échange de l’énergie en permanence avec son environnement. L’équilibre thermodynamique implique qu’elle restitue autant d’énergie par frottement visqueux qu’elle en reçoit par chocs. Il doit donc exister une relation entre la diffusion et la viscosité, entre fluctuation (de position) et dissipation. La relation d’Einstein est la première formulation de ce qu’en langage (moderne) de physique statistique on appelle le « théorème fluctuation-dissipation ». Nous reviendrons plus loin sur la généralité de cette notion. Marian von Smoluchowski fait un pas supplémentaire vers l’abstraction. Les expérimentateurs mesurent les vitesses des particules browniennes, et obtiennent des valeurs bien inférieures à ce que l’équipartition de l’énergie prévoit.
Désignons par  le vecteur qui joint l’origine à la particule après N pas. On a :
  désigne un vecteur dont l’orientation est aléatoire. Si l’on effectue la moyenne sur un grand nombre de trajectoires, dans la mesure où < > = 0 (directions équiprobables), on trouve :
  
Le point de départ est l’équation de la dynamique pour la particule brownienne, soumise à l’action du milieu. Cette action a un effet moyen, le frottement visqueux, et une composante fluctuante de moyenne nulle F(t). Toutes deux ont pour origine les chocs des molécules du milieu avec la particule brownienne. À une dimension, l’équation pour la vitesse s’écrit :   (Plus rigoureusement, la seconde condition s’écrit : <F(t).F(t’)> = A d (t-t’), où d (x) désigne la distribution de Dirac.) L’équation de la dynamique peut s’intégrer une fois par rapport au temps, et donne :
 est d’ordre microscopique. Pour une particule micronique dans l’eau (de viscosité 10-3 Pa.s), de masse volumique voisine de celle de l’eau, on obtient un temps de l’ordre de 10-7 s.
Si l’on considère le carré de la vitesse, et que l’on moyenne sur un ensemble de réalisations, on obtient (en tenant compte des propriétés de F) :   À l’équilibre thermodynamique, l’équipartition de l’énergie doit être satisfaite. De m<v2>/2 = kT/2 (à une dimension), on tire :
L’expression pour la vitesse (3) peut être intégrée une fois de plus, de façon à obtenir le déplacement. Pour le déplacement carré moyen, on obtient l’expression suivante :
Dans le premier terme, aux temps longs (pas si longs que cela, comme nous l’avons vu !), on retrouve un processus diffusif gouverné par le coefficient  Il est également intéressant d’envisager la limite des temps courts, pour lesquels on peut développer l’exponentielle en puissance du temps. Le terme en t s’annule, et l’on trouve :
 Le théorème fluctuation-dissipation : mode d’emploi
Nous avons vu plus haut que la relation d’Einstein découle d’une relation – non intuitive ! – entre la réponse du fluide au mouvement d’une particule sous l’effet d’une force extérieure et les fluctuations de cette particule en l’absence de cette force extérieure. Le fluide répond par une force visqueuse, de nature macroscopique ; la fluctuation de position, mesurée par le déplacement quadratique moyen en l’absence de toute sollicitation externe, c’est le mouvement brownien. L’approche à la Langevin, qui fait l’économie de la force extérieure, révèle la généralité de la relation d’Einstein.
D’autres relations classiques de la physique statistique procèdent de la même démarche théorique. Donnons les deux exemples les plus simples. La chaleur spécifique C d’un système est définie comme caractérisant la réponse énergétique du système à un changement de sa température  On imagine pour cela que le système est en contact avec un thermostat qui fixe la température. Dans ce cas, son énergie n’est constante qu’en moyenne ; elle fluctue autour de cette valeur moyenne <E> (indépendamment de toute sollicitation externe) et la probabilité associée aux différentes valeurs de l’énergie est donnée par un facteur de Boltzmann :
   Le second exemple relie les fluctuations de densité d’un fluide et sa compressibilité. Les fluctuations existent en l’absence de toute action sur le fluide. La compressibilité caractérise la réponse en pression du fluide à une variation de son volume. Si l’on s’intéresse à la fluctuation du nombre de molécules n dans un petit volume v, au sein d’un fluide contenu dans un volume V, on peut montrer qu’elle est reliée à la compressibilité par la relation :   désigne la densité moyenne du fluide et  sa compressibilité :
 Mentionnons également une des utilisations récentes du théorème fluctuation-dissipation. Rappelons les hypothèses du modèle qui conduit à la relation d’Einstein : 1. la force fluctuante n’a pas de corrélation temporelle, 2. le fluide est newtonien (force de frottement proportionnelle à la vitesse), 3. le système est à l’équilibre thermodynamique. Chacune de ces hypothèses peut donc être testée dans différents systèmes physico-chimiques, en mesurant un coefficient de diffusion (observation du mouvement brownien) et en caractérisant les propriétés rhéologiques du milieu (le type de frottement interne). La force fluctuante peut avoir des corrélations temporelles qui laissent une trace dans la diffusion (qui n’est plus proportionnelle à la racine du temps). Si le système est à l’équilibre (température bien définie), on peut étudier sa rhéologie (milieux non newtoniens). S’il n’est pas à l’équilibre (milieux évoluant très lentement, ou bloqués dans des états métastables à très longue durée de vie), on peut tenter de leur attribuer une « température effective ». L’étude des fluides complexes hors équilibre constitue un domaine de recherche très actif. Mouvement brownien et théorie du potentiel
La relation peut être explicitée de la façon suivante. Nous avons vu que l’équation de la diffusion :  Nous avons également remarqué que le même type d’équation régit d’autres phénomènes de transport que celui de particules : par exemple le transport d’énergie thermique dans un matériau conducteur. Dans ce cas, au lieu de la concentration, c’est la température T(x,y,z,t) qu’on recherche, et le coefficient de diffusion est remplacé par le rapport de la conductibilité thermique à la chaleur spécifique du matériau. Typiquement, la température est fixée sur la frontière d’un domaine, et l’on cherche, après un régime transitoire, la distribution des températures en régime permanent. T(x,y,z,t) sera donc solution de l’équation :  Considérons alors le problème suivant : on cherche à déterminer une fonction harmonique dans un domaine, pour des valeurs fixées de cette fonction sur la frontière F du domaine : on se donne donc f(M), pour tout point M appartenant à F. La procédure suivante résout le problème : pour avoir la valeur f(P), où P est un point intérieur au domaine, on génère un ensemble de marches aléatoires partant de P. Une trajectoire atteint nécessairement la frontière, puisque la distance à P augmente comme la racine du temps. On note les valeurs fP(M) de la fonction f aux différents points M de la frontière où les trajectoires browniennes partant de P rencontrent cette frontière pour la première fois. Alors, on montre que :
Comment démontrer cette propriété ? En montrant que f(P) ainsi calculée satisfait bien l’équation (6). On considère donc une sphère S de rayon a quelconque (contenue dans le domaine). Une trajectoire quelconque issue de P traverse au moins une fois S avant d’atteindre la frontière F. Soit P’ le point où S est traversée pour la première fois par une trajectoire. On peut faire démarrer un ensemble de trajectoires browniennes à partir de P’, et calculer fP’(M) selon la procédure définie pour f(P). L’indice S est indiqué ici pour rappeler que P’ se trouve sur S.
Cette équivalence entre théorie du potentiel et approche brownienne a permis de démontrer certaines propriétés de l’une des théories au moyen de résultats établis dans l’autre. Exemple d’équivalence : on considère un canal coudé à angle droit, de largeur d. On impose la valeur 0 à l’un des bords et la valeur V0 à l’autre. Le potentiel entre les bords satisfait l’équation de Poisson ?V = 0. On peut résoudre le problème par itérations successives. On trace un réseau régulier, et l’on utilise le fait que le potentiel en tout point est égal à la valeur moyenne des 4 valeurs aux plus proches voisins. On part en considérant V(x, y) = 0 partout sauf sur les frontières. A l’itération 1, on remplace toutes les valeurs de V en chaque point (x,y) par ¼ (V(x,y – h) + V(x,y + h) + V(x – h,y) + V(x + h,y)). Seules les valeurs près de la frontière vont changer. Puis on recommence, et l’on constate que la solution converge. On compare ensuite cette solution avec celle obtenue par simulation brownienne, selon la procédure indiquée. Le mouvement brownien en chimie
Malgré l’augmentation incessante de la puissance de calcul des ordinateurs, simuler la dynamique d’espèces en solution par résolution des équations du mouvement représente encore un coût prohibitif – et souvent superflu. Dans la mesure où les trajectoires individuelles des molécules et des ions représentent une information trop détaillée par rapport au calcul des grandeurs macroscopiques d’intérêt chimique, des méthodes de type marche au hasard ont été développées depuis les années 1960. Thierry Olynyk explicite l’état de l’art pour le calcul de certaines propriétés d’ions en solution.
Le mouvement brownien en biologie
Les progrès de l’instrumentation de toute sorte donnent accès au détail des mécanismes physicochimiques à l’intérieur de la cellule. Le mouvement brownien, omniprésent, y joue son rôle puisque, à petite échelle, le transport brownien (passif) peut avoir une certaine efficacité. Cécile Sykes aborde cette question dans son article : la spécificité, ici, tient à ce que le vivant, par nature, pourrait-on dire, est hors équilibre.
Le mouvement brownien en économie
Cinq ans avant la publication d’Einstein sur le mouvement brownien, Louis Bachelier avait développé une approche des fluctuations des cours de bourse en termes similaires. On peut en effet penser à une approche de marche aléatoire à chaque fois qu’une grandeur est soumise à l’action d’une multitude d’acteurs indépendants. Cette thèse, oubliée pendant des décennies, et ressortie par Andreï Kolmogorov dans les années 1930, a été actualisée et modernisée dans les années 1970 par des économistes motivés par le développement des marchés financiers. Du reste, cette activité a fourni des emplois dans des officines financières à nombre de physiciens théoriciens dans les quinze dernières années ! Hubert Krivine détaille dans son article les différents aspects des heurs et malheurs des mathématiques financières.
Jacques TREINER
Chimie Depuis le développement des ordinateurs, dès les années 1950, les physicochimistes ont tenté de simuler le comportement de la matière à l’état liquide au moyen de calculs où l’on cherche à déduire les propriétés macroscopiques de la dynamique des constituants microscopiques.
Pour réaliser ces simulations, il est nécessaire de bien connaître la nature des interactions entre particules. Dans un premier temps, ces simulations peuvent donc servir à tester des modèles d’interactions entre particules : on confronte les résultats obtenus par simulations à ceux obtenus expérimentalement. Une fois les interactions entre particules convenablement décrites, les simulations peuvent avoir un caractère prédictif. Voyons ici les problèmes posés par la mise en œuvre d’une simulation portant sur une solution aqueuse ionique. Nous avons choisi le chlorure de cryptate de potassium (K(C18H36O6N2)Cl ) dans l’eau lourde à la concentration : C = 0,15 mol.L-1. Simulation de dynamique moléculaire
Plusieurs méthodes de simulation ont été mises au point. La première à laquelle on peut penser consiste à résoudre les équations de la mécanique classique pour tous les atomes de l’échantillon de matière considéré. On intègre donc numériquement l’ensemble des relations fi = mi·ai (fi est le vecteur somme des forces subies par l’atome n° i, mi la masse de l’atome et ai son vecteur-accélération). Connaissant les positions et les vitesses à un instant t, les accélérations, calculées à partir des forces subies permettent de calculer les vitesses à un instant t + dt. Ces vitesses conduisent ensuite de la même manière aux nouvelles positions. Cette méthode nécessite l’emploi d’un pas de temps dt extrêmement petit ; on doit en effet pouvoir négliger les éventuelles variations de fi pendant cet intervalle de temps. Les intervalles utilisés dans cette méthode de simulation – appelée « dynamique moléculaire » – sont de l’ordre de 10-15 s. Il est des cas où cette méthode nécessiterait des temps de calculs gigantesques, c’est le cas par exemple lorsqu’on souhaite simuler le comportement d’une solution aqueuse. Dans notre exemple, pour avoir une statistique sur 100 cations et 100 anions, il faut calculer les trajectoires de plus de 100 000 d’atomes !
Pour notre solution aqueuse de chlorure de cryptate de potassium, on aura donc recours à une méthode différente, appelée « simulation de dynamique brownienne ». Simulation de dynamique brownienne
Le solvant est traité comme un fond continu caractérisé par une permittivité et une viscosité. Les ions polyatomiques y sont considérés comme des sphères chargées.
À partir des positions à l’instant t, les nouvelles positions des ions sont calculées à partir d’une équation stochastique du mouvement : r(t + dt) = r(t) + R + drI r est le vecteur-position de l’ensemble des ions, si N est le nombre total d’ions considérés, il a 3N composantes.
R est un vecteur-déplacement aléatoire de 3N composantes correspondant au mouvement brownien des ions. Il est de distribution gaussienne, sa moyenne dans le temps vaut <R> = 0. Sa moyenne quadratique < R·RT> est proportionnelle à l’intervalle de temps dt et dépend des interactions hydrodynamiques entre les ions et le solvant. drI est un vecteur-déplacement calculé grâce aux interactions des ions entre eux et des ions avec le solvant. Comment a-t-on réalisé une simulation pour notre exemple ?
1.
On considère un ensemble de N+ cations et N– anions répartis dans un volume cubique d’eau que l’on considère comme un fond continu ; l’arête de ce cube a est choisie de manière à respecter la concentration C. Pour notre exemple N+ = N– = 108 et a = 10,6 nm.
2.
On choisit un pas de temps dt. Nous avons pris dt = 0,25 ps.
3.
Partant de t = 0 et allant de dt en dt :
-
On calcule de nouvelles positions pour les ions grâce à l’équation stochastique du mouvement.
-
Notons rn la configuration au temps t et rn+1 la configuration au temps t + dt ; on calcule la probabilité p qu’a le système de passer de l’état rn à rn+1 :
4.
On arrête le calcul des trajectoires au bout de 16 000 pas de temps environ.
5.
On répète ce calcul cinq fois.
Quelles sont les interactions prises en compte ?
Interactions directes
À longue distance, deux ions i et j interagissent par interaction coulombienne :
  r la permittivité diélectrique relative du solvant, 0 la permittivité diélectrique du vide et rij la distance entre les deux ions.
L’énergie potentielle d’un ion i est alors la somme des énergies potentielles d’interaction :  La figure ci-dessous illustre cette périodisation en deux dimensions seulement.
 On a représenté ci-dessous la somme de l’énergie potentielle d’attraction électrostatique d’un cation et d’un anion et de l’énergie potentielle de répulsion à courte portée. On voit par la montée abrupte de cette énergie potentielle que les deux ions ne peuvent s’interpénétrer.
La solvatation de deux ions est modifiée lorsqu’ils se touchent
Comme le montre la figure ci-dessous, lorsque deux ions se touchent, ils n’engagent pas le même nombre de molécules d’eau pour leur solvatation. Lorsque deux ions se touchent, certaines molécules d'eau qui participaient à leur solvatation sont exclues.
Les ions, en se déplaçant, subissent des forces hydrodynamiques de la part du solvant
La force de friction est donnée pour chaque ion i par la loi de Stokes :
 Il faut tenir compte également de l’effet d’entraînement des ions présents dans le sillage d’un ion en mouvement dans le solvant. Cela est possible à condition d’exprimer l’ensemble des forces hydrodynamiques subies par les ions (un vecteur F de 3N composantes) en fonction des vitesses de ces ions (un vecteur U de 3N composantes) : F = - M·U
où M est une matrice 3N × 3N
Comment est calculée la probabilité p de passer d’une configuration à une autre ?
La probabilité p pour passer d’une configuration rn à une configuration rn+1 est calculée selon l’expression :
 Comment a été calculée la conductivité électrique à partir des simulations de trajectoires ?
Le calcul de la conductivité électrique à partir des trajectoires simulées est un problème de physique statistique dont la solution est donnée par :
  La figure ci-dessous représente l’intégrale de cette fonction en fonction du temps calculée à partir de 5 simulations. On voit que cette intégrale ne fait que fluctuer autour d’une valeur constante à partir de 200 ps environ. On prendra la valeur correspondant à ce plateau comme valeur de l’intégrale de 0 à l’infini.
Le résultat de ces simulations, exploité à l’aide de la physique statistique, a fourni des grandeurs comme la pression osmotique, les coefficients de diffusion ou la conductivité électrique en accord avec les valeurs expérimentales. Thierry OLYNYK
Biologie
Le début du XIXe siècle, qui correspond à l’époque de cette découverte, voit naître la « théorie cellulaire » selon laquelle tout être vivant est formé de cellules vivantes. Robert Brown observe des tissus vivants à l’aide des microscopes optiques de plus en plus performants, et il est le premier à décrire dans des cellules animales la présence d’une masse sombre et arrondie, le noyau (d’abord appelé nucléoplasme), en 1831. L’observation de 1827 fait donc d’abord penser à un mouvement actif : ces particules seraient « vivantes », d’autant plus qu’elles sont extraites de plantes. Brown considère alors que ses observations mettent en évidence une certaine « force vivante ». Rappelons que ce n’est finalement qu’à la fin des années 1880 que des expériences plus systématiques montrent que le mouvement est plus rapide lorsque la taille des particules est plus petite, et que le mouvement est ralenti dans un solvant plus visqueux. Ensuite, au début du XXe siècle, avec Einstein en 1905 et Jean Perrin en 1908, on comprend que ces particules apparaissent plus agitées lorsque l’on augmente la température : l’énergie thermique (quelque kBT, c’est-à-dire quelque 4.10-21 joules) est transférée à ces petits objets en solution sous forme d’énergie cinétique, et c’est pourquoi ils sont en mouvement. Mouvements « passifs » en biologie
Appelons donc ce mouvement brownien un mouvement « passif », puisqu’il n’est pas dû à la qualité de vivant de ces particules. Ce mouvement est de type diffusif, c’est-à-dire que la taille de la portion d’espace visitée par cette particule animée de mouvement brownien augmente en racine du temps. Autrement dit, si r est la distance du point initial, la valeur moyenne du carré de cette distance varie comme suit :
  La taille des objets « browniens » dont on peut facilement observer le mouvement à l’aide d’un microscope est le micromètre :  N’importe quelle cellule est formée d’un intérieur, et d’une membrane qui l’isole du milieu extérieur, mais cette membrane permet par ailleurs de réguler, par des canaux spécifiques, les échanges avec le milieu extérieur. À l’intérieur de la cellule se trouvent de nombreux organelles, mais aussi des filaments (voir image ci-dessous). Les filaments sont des espaces à une dimension, la membrane est une surface à deux dimensions, et l’intérieur de la cellule est, bien sûr, à trois dimensions. Cet aspect topologique est intéressant pour les réactions biochimiques dans la cellule. En effet, regardons attentivement une trajectoire de diffusion brownienne à trois dimensions (comme celle représentée dans Images et films du Thém@doc consacré à Einstein) , nous observons de nombreux espaces non visités par cette particule dans la portion de l’espace dans laquelle elle bouge. Par contre, imaginons la trajectoire d’une particule sur un fil : là, au contraire, l’ensemble de la portion du fil est visité. En deux dimensions, le cas est évidemment intermédiaire. On déduit de ce raisonnement que les réactions par diffusion sont plus efficaces à une dimension qu’à deux dimensions, et à deux dimensions qu’à trois dimensions. La nature tire partie de cette propriété, et un bon nombre de réactions dans la cellule a lieu à la membrane (ou à proximité des filaments), c’est-à-dire dans un espace à deux dimensions (ou à une dimension), plutôt qu’à l’intérieur de la cellule qui est à trois dimensions.
 où t = 1s, donc cette distance est légèrement supérieure au micron. Les monomères d’actine diffusent donc, en une seconde, sur une distance qui est du même ordre de grandeur que le déplacement de la cellule. La seule diffusion est donc suffisante, à priori, pour amener à la membrane un nombre suffisant de monomères afin de mettre la cellule en mouvement.
Mouvements « actifs » en biologie
Bien sûr, la seule diffusion des protéines à l’intérieur de la cellule n’explique pas l’ensemble des mécanismes cellulaires. En effet, dans une cellule animale, on observe des mouvements « actifs » et souvent dirigés, générés non pas par l’énergie thermique, mais par une consommation d’énergie chimique à l’intérieur de la cellule. Ces mouvements dirigés permettent le trafic intracellulaire de manière plus efficace que la seule diffusion brownienne. Pour simplifier, les mouvements passifs subsistent lorsque la cellule est morte, alors que les mouvements actifs disparaissent. Cette distinction entre mouvements « passifs » et « actifs » est très importante en biologie. Il n’est pas toujours aisé de distinguer ces deux types de mouvements (actifs ou passifs) lors de l’observation de l’intérieur d’une cellule sous un microscope, et l’on verra plus tard que certaines bactéries à flagelles, bien qu’elles aient un mouvement de type diffusif, ne sont ni « passives » ni mortes.
Cependant, à l’intérieur d’une cellule, il est important de faire la différence entre un mouvement passif (comme la diffusion simple d’un type biochimique, d’une protéine par exemple) et le mouvement actif (porté par exemple par des moteurs moléculaires ou des assemblages actifs dynamiques). Une manière de le faire expérimentalement est de mesurer la taille de l’espace visité. Si cette taille d’espace varie en racine du temps, on a affaire à un mouvement diffusif. Si par contre elle varie de manière différente avec le temps, on est en présence d’un mouvement actif, et alors le biologiste voudra identifier la protéine et la réaction qui créé le phénomène. Expérimentalement, comme il est impossible de regarder sous le microscope les protéines de manière individuelle, qui sont très petites (de l’ordre de quelques nanomètres alors que le microscope optique ne résout que des objets de taille supérieure à une petite fraction de micron), les chercheurs ont recours à des marqueurs fluorescents qui émettent dans une longueur d’onde visible lorsqu’ils sont excités par une autre longueur d’onde. On peut alors suivre la position de l’ensemble de ces marqueurs (accrochés à la protéine d’intérêt) sous le microscope en fonction du temps. Une technique très classique pour connaître si le mouvement observé est de type actif ou passif est le FRAP (fluorescence recovery after photobleaching, ou recouvrement de fluorescence après photoblanchiment), qui tire profit du fait que ces marqueurs sont souvent détruits par un trop fort éclairement. Le principe de cette technique est de « photoblanchir » une région (qui apparaîtra noire sous le microscope) à l’instant t = 0. Ensuite, on mesure, toujours sous le microscope, si la région redevient fluorescente selon une loi de diffusion ou non.
Source : Wikipediahttp://en.wikipedia.org/ Notons que cette expérience peut être réalisée soit pour élucider un mouvement dans les trois dimensions de l’espace (à l’intérieur de la cellule), soit dans les deux dimensions de la membrane de la cellule, sur laquelle de nombreuses protéines se déplacent pour laisser entrer à certains endroits et à certains moments des ions par exemple. Mouvements de bactéries, autopropulsion
Les bactéries, les microbes, les spermatozoïdes humains, ont en général une taille de l’ordre du micron, et sont donc animés de mouvements browniens. Bon nombre d’entre eux ont un flagelle qui « rectifie » ce mouvement brownien. On peut imaginer l’analogie avec des particules browniennes qui sédimentent, ou sont chargées dans un champ électrique, ou encore sont magnétiques et plongées dans un champ magnétique. Ces particules sont toujours agitées sous l’effet de l’agitation thermique, mais sont, de surcroît, soumises à une force extérieure qui les fait dériver dans une direction donnée (voir la fiche professeur, physicochimie de la partie « En pratique »). Certaines bactéries (prenons celles de la taille du micron) ou spermatozoïdes sont, de même, propulsés par leur flagelle qui les fait dériver dans une direction donnée. Calculons la distance parcourue par diffusion en une seconde : elle vaut quelques dixièmes de micron pour un coefficient de diffusion de 2.10-11 m2/s calculé plus haut. Par conséquent, si l’objet étudié a un mouvement actif de vitesse supérieure à quelques dixièmes de micron par seconde, le mouvement brownien sera négligeable. C’est le cas pour les spermatozoïdes humains qui ont un mouvement actif d’une vitesse de l’ordre de 10 microns/seconde. Interrogeons-nous tout d’abord sur leur environnement hydrodynamique.
Ces bactéries ont un environnement hydrodynamique peu habituel pour un humain : leur nombre de Reynolds est très faible, ce qui veut dire qu’elles sont dans un fluide très visqueux et en l’absence de tout effet d’inertie. Pour mémoire, le nombre de Reynolds est un paramètre sans dimension, obtenu à partir des équations de mouvement d’un fluide. Ce nombre indique le poids relatif des termes qui décrivent les forces d’inertie (forces nécessaires pour accélérer l’objet) d’une part et les forces visqueuses (forces dues au cisaillement visqueux) d’autre part. Le nombre de Reynolds est donné par :  Pour un nageur dans une piscine nageant à 3 km/h, de 1 m de taille radiale, dans de l’eau ( ? = 10-3Pa.s), le nombre de Reynolds vaut environ 103, ce qui veut dire que, dans ce cas, les forces d’inertie sont plus grandes que les forces visqueuses. Pour un spermatozoïde humain de taille 1 micromètre qui se déplace dans de l’eau à une vitesse de 10 microns/seconde, ce nombre vaut 10-5. Dans ce cas, les forces visqueuses sont prépondérantes par rapport aux forces d’inertie. Si nous voulions nous mettre dans les mêmes conditions que nos propres spermatozoïdes, nous devrions nager dans une piscine de graisse à une vitesse de 30 cm/heure. Pour « nager » et se propulser de manière effective, le spermatozoïde utilise un flagelle en mouvement asymétrique, c’est-à-dire que si l’on inverse le temps, le mouvement est différent. Il est important que le mouvement soit asymétrique : s’il ne l’était pas, le spermatozoïde ferait du surplace, vu l’environnement visqueux dans lequel il trempe. En effet, si l’on reprend le cas du nageur dans la graisse, on comprend bien que s’il bat des bras du haut vers le bas, quelle que soit la vitesse, vu qu’il n’y a aucune inertie, le nageur n’avancera pas. Le flagelle du spermatozoïde bat dans un plan, alors que d’autres flagelles tournent sur eux-mêmes (voir le cas des bactéries Escherichia coli plus bas). Dans le cas du flagelle qui tourne, vu, comme on vient de le voir, que son milieu extérieur est principalement visqueux, le mouvement ressemble alors à celui d’un tire-bouchon dans du liège. Notons bien ici que le milieu dans lequel le spermatozoïde évolue est de l’eau, qui n’est pas considérée comme visqueuse à notre échelle de nageur, mais qui est très visqueuse à l’échelle du spermatozoïde. En effet, à bas nombre de Reynolds (donc pour presque toutes les situations dans lesquelles nos cellules se trouvent), les effets visqueux sont prépondérants. Les conditions hydrodynamiques dans lesquelles se trouvent les spermatozoïdes (ou notre nageur dans sa piscine de graisse) signifient aussi que lorsque le spermatozoïde (ou le nageur baignant dans la graisse) décide de s’arrêter, il le fait en une fraction de seconde puisque son inertie est totalement négligeable. Le même nageur, placé dans une piscine d’eau dans les conditions habituelles (son nombre de Reynolds est, rappelons-le, de l’ordre de 104 dans ces conditions) mettrait quelques secondes à s’arrêter à cause de son inertie. Quittons les spermatozoïdes et prenons un autre exemple d’une bactérie à flagelles, la bactérie Escherichia coli, classique habitante non pathologique de nos intestins. Cette bactérie comporte non pas un seul flagelle, mais environ six qui sont disposés à sa périphérie (voir E. Coli Bacterium en ligne, www.astrographics.com/). Chaque flagelle tourne grâce à un moteur rotatif enfiché dans la membrane de la bactérie qui tourne constamment, mais peut changer de sens. Lorsque ces flagelles tournent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, ils forment un faisceau synchrone qui propulse la bactérie efficacement vers l’avant dans une trajectoire appelée « run » en anglais. Si, par contre, les flagelles tournent dans le sens des aiguilles d’une montre, ils se désolidarisent les uns des autres, puis la bactérie bouge de manière erratique et tourne dans tous les sens, c’est la phase appelée « tumble » en anglais. Ces deux phases alternent et il en résulte un mouvement général aléatoire, à condition qu’aucun élément extérieur (par exemple une source de nourriture) ne vienne perturber ou orienter le mouvement. On a donc ici le cas d’un mouvement actif (la bactérie consomme de l’énergie chimique) caractérisé par des séquences de lignes droites alternées aléatoirement avec des séquences de pauses. Puisqu’il est aléatoire, ce mouvement est diffusif, caractérisé par un coefficient de diffusion qui sera cependant supérieur à celui de la diffusion brownienne. Là, nous sommes donc capables de faire la différence entre mouvement passif et actif avec la connaissance de la valeur du coefficient de diffusion, et non pas seulement son existence. Peut-on rectifier le mouvement brownien pour en faire un mouvement dirigé ?
Une idée naturelle pour utiliser cette énergie thermique transformée en énergie cinétique est d’imaginer un dispositif dessiné sur la figure ci-dessous : une roue à cliquet est solidaire d’une hélice symétrique, elle-même animée thermiquement. L’ensemble est maintenu à une température identique dans chacun des compartiments. Cette hélice tourne aléatoirement dans les deux directions. Par contre, comme elle est solidaire de la roue à cliquet, elle ne pourra revenir en arrière une fois que cette roue aura passé un cran. Il en résulte donc un mouvement dirigé et ce dispositif pourrait faire remonter un petit poids par exemple, définissant ainsi une machine générant du travail à partir d’un réservoir à température constante.
Mais ce résultat violerait la loi de Carnot (voir : Est-il possible de violer le second principe de la thermodynamique ?) et, en réalité, ce système ne peut fonctionner qu’en présence d’une source d’énergie extérieure. C’est le cas des systèmes biologiques qui biaisent le mouvement brownien par une source d’énergie supplémentaire. La source d’énergie dans la cellule est l’ATP (adénosine tri-phosphate) qui s’hydrolyse en ADP (adénosine di-phosphate). La puissance consommée par l’hydrolyse de l’ATP est inférieure à la puissance thermique, et l’effet du mouvement brownien devrait masquer totalement l’effet actif. Pour fonctionner, ces moteurs ont recours à une astuce : ils s’accrochent à un substrat, comme nous nous accrocherions à la rampe d’un pont de corde que nous devrions traverser par gros temps. C’est le cas des moteurs moléculaires, qui marchent sur les rails que forment les filaments de la cellule (actine ou microtubules), ce sont des moteurs linéaires. Ces moteurs moléculaires sont des petites molécules, ou des complexes protéiques capables donc de transformer une énergie chimique en une énergie mécanique. Un autre exemple de ces moteurs est celui des moteurs rotatifs, enfichés dans une membrane, et c’est le cas du moteur rotatif qui fait tourner les flagelles des bactéries E coli. Il est composé de plusieurs centaines de molécules. Le plus petit moteur rotatif connu est le F1 ATPase qui se trouve à la membrane des mitochondries et sert à synthétiser l’ATP. Un autre exemple de mouvement brownien rectifié est celui d’un polymère qui, au fur et à mesure qu’il polymérise, pourrait pousser un objet. Ce type de polymère, dans la cellule, est un filament d’actine ou un microtubule qui polymérise par consommation d’ATP (ou de GTP dans le cas d’un microtubule). Dans ce cas, le mouvement brownien de l’objet disposé près du bout du polymère en croissance finit par libérer un espace assez grand pour permettre l’insertion d’un monomère entre l’objet et le polymère. Ainsi l’objet ne peut plus diffuser en arrière une fois que le monomère est en place. La figure ci-dessous illustre ce mécanisme : le polymère, ou filament en rouge, est constitué de monomères qui peuvent s’assembler à une extrémité du filament. La position de l’objet, en vert, fluctue, et permet l’insertion de monomères.
Remarquons ici qu’on pourrait mener le même raisonnement sur les fluctuations thermiques du polymère : le bout du polymère fluctue et polymérise, poussant ainsi l’objet quand il revient à sa position précédente. Puisque le coefficient de diffusion d’un objet diminue proportionnellement à sa taille, on attend de ce type de mécanisme que la vitesse de l’objet varie de manière inversement proportionnelle à sa taille (voir « En pratique »). En conséquence, de gros objets bougent doucement (voir « En pratique »). Utilisation du mouvement brownien dans des expériences de mesure de force en biologie
Les forces générées par ces machines moléculaires, dans la cellule, sont de l’ordre de quelques piconewtons à quelques nanonewtons, et il se pose alors la question de concevoir des machines capables de mesurer ces forces minuscules. Les chercheurs, ces dernières années, ont justement tiré parti du mouvement brownien pour réaliser un tel dispositif. Un exemple est l’utilisation d’aiguilles très fines, d’une épaisseur d’une centaine de nanomètres à leur extrémité, qui servent de senseurs de force. Le principe est très simple : comme n’importe quelle tige métallique, une telle aiguille est un ressort, c’est-à-dire que la déflection de son extrémité est proportionnelle à la force appliquée. Mais comment mesurer la raideur, notée k, d’un ressort si minuscule ? Justement en utilisant le fait que l’extrémité de l’aiguille s’agite à cause des fluctuations thermiques. On écrit alors que l’énergie thermique est fournie à l’aiguille et transformée en énergie mécanique :
  est la valeur moyenne du carré des fluctuations de la position de l’extrémité. Cette position est mesurée en fonction du temps à l’aide d’un dispositif optique. On en déduit donc la valeur de la raideur de l’aiguille à son extrémité :  Conclusion
Nous avons donc illustré dans cet article que, dans le Vivant, le mouvement brownien joue un rôle prépondérant, vu l’échelle de taille des objets dans une cellule. Il est toujours présent, parfois négligeable (le cas du mouvement des bactéries E coli qui sont très rapides), parfois dominant (cas des moteurs moléculaires), parfois utilisable même techniquement. Ce mouvement thermique est en tout cas incontournable en biologie.
Cécile SYKES
Économie
Le pionnier incontestable des mathématiques financières modernes est Louis Bachelier qui soutient en 1900 sa thèse2 avec Poincaré dans le jury. Ce qui est remarquable est que Bachelier va s’attaquer à ce qui sera la théorie du mouvement brownien développée cinq ans plus tard par Einstein. Pour une fois, paradoxalement, c’est la physique qui aurait pu s’inspirer des théories financières ! De fait, malgré son prestigieux patronage, les travaux de Bachelier sont restés méconnus. Justice lui sera rendue trente ans plus tard par le mathématicien soviétique Kolmogorov et surtout par la mise sur le marché en 1973 du modèle de Black et Scholes (prix Nobel d’économie en 1997). Ce modèle, fondamentalement inspiré de l’approche de Bachelier, va connaître un développement foudroyant à partir des années quatre-vingts. Son objectif était attirant (optimiser la politique d’investissement) et son utilisation très simple. Aussi, pratiquement tous les agents financiers vont l’utiliser avec enthousiasme dans le monde. Et ce jusqu’au krach boursier de 1998, précédé par la faillite retentissante en 1997 du fonds LTCM (Long Term Capital Management) conseillé par... Scholes. Cette utilisation continue, mais sans l’enthousiasme des débuts. Nous allons d’abord expliquer l’approche de Bachelier, montrer ensuite comment elle va bien au-delà des problèmes de la spéculation boursière. Nous en montrerons ensuite les limites dans le cas des calculs financiers. Nous reviendrons en conclusion sur les leçons de ce modèle. Une ressemblance troublante
Que peuvent avoir en commun le mouvement brownien et les cours de la Bourse ? On sait que le mouvement de la particule brownienne est causé par les chocs désordonnés des molécules d’eau. On peut, sans entrer dans le détail de ces chocs (remplacés par une température) rendre compte du mouvement de la particule, d’un point de vue statistique. De la même façon, la valeur actuelle d’une action est la somme de ses fluctuations passées, causées par les nombreux ordres de vente et d’achat. Le parallélisme est tentant. Illustrons-le par les figures suivantes. La première (fig. 1) indique les variations dans le temps de l’indice du CAC 40 en Bourse3, la seconde (fig. 2) une marche aléatoire, modèle idéalisé du mouvement brownien.
Figure 1 – Variations de l’indice CAC 40 : à gauche par minute, à droite par mois, de 1992 à 2005. Deux observations s’imposent : — à l’œil4, les courbes ont globalement même allure ; — elles offrent toutes les deux la propriété d’autosimilarité, c’est-à-dire qu’elles conservent cette allure quelle que soit l’échelle de l’abscisse. On verra cependant plus loin que cette ressemblance peut être trompeuse. Notons que sur un problème aussi simple en apparence, il y a des résultats non triviaux et contraires à l’intuition. Par exemple le gain Sn n’oscille pas en permanence autour de 0 ; au contraire il reste longtemps dans une zone gagnante (ou perdante, bien sûr ! ).  Figure 2 – Marche aléatoire. Zooms successifs (voir les échelles).  représente le nombre de pas (le temps) et  la distance algébrique à l’origine (le gain ou la perte).
Approche de Bachelier
Considérons un actif financier (une action, une obligation, un cours en Bourse, le prix de la tonne de sucre, etc.). Son prix  , qui fluctue de façon erratique, peut être considéré comme la somme de ses variations (à laquelle on ajoutera à la fin sa valeur initiale  . Simplifions en supposant que :
— les variations ne peuvent prendre que les valeurs  et ce avec la même probabilité5,
— ces valeurs sont prises à des pas de temps réguliers  ,
— les variations sont des variables aléatoires indépendantes6 . Nous discuterons plus loin l’importance et la validité de ces points. Écrivons que l’événement « le prix de l’actif vaut à l’instant  » résulte de deux événements disjoints de probabilité  : « il valait s – h ou s + h à l’instant antérieur  . On a, avec des notations évidentes :
  aux deux membres :
 On suppose que est une fonction continue et qu’elle admet un développement de Taylor, en se limitant à l’ordre le plus bas en  et h, il reste
 (1)
 (2)
 reste fini, on a affaire à une équation différentielle aux dérivées partielles. On vérifiera que l’équation suivante est une solution7 de cette équation.
 On donnera à l’exercice 2 (fiche élève, rubrique « En pratique ») une dérivation combinatoire directe de cette équation. est devenue une densité continue de probabilité. Ce qui veut dire que la probabilité que le prix de l’action soit compris entre et  peut s’écrire
 (3)
Il est remarquable que Bachelier ait ainsi retrouvé l’équation de la chaleur (1). Il a appelé « le coefficient d’instabilité » ou de « nervosité de la valeur ». Aujourd’hui, on parlera plutôt de volatilité du cours qu’on associe au risque. Comme on peut le constater, cette approche préfigure celle d’Einstein.
Deux applications
Rappelons d’abord que si  est une variable aléatoire de densité de probabilité  , et un domaine de variation de  on a
 (4)
La valeur moyenne de est donnée par
 (5)
et sa variance  par
 (6)
La gaussienne (3) a une valeur moyenne égale à et une variance égale à  . Voir l’exercice 1 (fiche élève, rubrique « En pratique »).
Détermination de la prime
Le problème est le suivant. On se place au temps  À un temps ultérieur (temps de maturité), un industriel aura besoin d’acheter un actif Soit  son prix (inconnu) à ce moment. Il est prêt à payer une prime à un courtier pour être certain de ne pas payer alors cet actif plus de  (prix d’exercice). C’est une assurance (option d’achat) contre une montée éventuelle des prix. Si  , il réalisera un gain de  . Si la valeur de la prime est un peu supérieure au gain moyen attendu, tout le monde y gagne : le courtier qui, sur l’assise de beaucoup de clients, ne dépensera que  (valeur moyenne du gain quand il est positif), et son client qui achètera à un prix  .
Le calcul est simple : quelle est la probabilité pour que le prix d’un actif soit  à un instant ? Ce sera en fonction de l’équation (4)
 Le gain (moyen) sera (voir l’équation 5)  Avec  , on voit que ce bénéfice vaut  : il croît donc en  , ce qui est « un des résultats les plus importants de notre étude8 ».
Calcul du temps optimal
On peut montrer qu’au temps
 (7)
la probabilité pour que l’actif soit compris entre  et  est maximale (voir l’exercice 3 de la fiche élève, rubrique « En pratique »).
Marche au hasard et problème de ruine
Les paragraphes qui suivent empruntent à l'ouvrage de Feller et Willey (cf. « Pour aller plus loin » dans la partie « Repères »). On considère deux joueurs. Soit  le capital total des deux joueurs et  le capital initial du joueur 1. À chaque essai, ce joueur a une probabilité  de gagner 1 unité et  de la perdre (et réciproquement pour son adversaire). Le jeu consiste en une série d’essais qui se termine quand le capital du joueur est devenu  (ruine) ou (victoire). Nous allons calculer la probabilité de ruine et le temps moyen de jeu.
En terme de marche aléatoire, on parle de marche (ou de processus de Markov) avec barrières absorbantes en  et  Si  et  , c’est le problème du premier passage à l’origine.
Soit  la probabilité de ruine du joueur de capital initial (et ce sur un nombre fini, mais « grand » d’essais) et  sa probabilité de victoire. On verra que  .
Calcul de qz Comme après le premier jeu le nouveau capital du joueur est  avec une probabilité et  avec la probabilité , on a en général :
 (8)
puisque l’événement « le joueur avec capital initial perd » résulte de la réunion de deux événements disjoints (obtenus au deuxième essai) « le joueur avec capital initial perd » ou bien « le joueur avec capital initial perd ». Sauf si  auquel cas  ou  auquel cas  On posera donc  et  pour que la relation (8) soit toujours vraie pour  .
Supposons  L’ensemble des solutions (8) forme un espace vectoriel de dimension 2. Manifestement  et  sont deux solutions indépendantes. La solution générale est alors :
 Les conditions aux limites et déterminent  et  Soit :
 (9)
On voit facilement que si  , ( On pourra poser  et faire un développement limité au second ordre en  )
 (10)
On vérifie aussi par le changement  et  que .
Limite quand (adversaire infiniment riche). Les deux cas :
—  , —  , et ce  9peuvent se traduire en terme de marche au hasard (à  par le théorème :
la probabilité de passage à l’origine est 1 si et  sinon.
Calcul de la durée moyenne de jeu
Soit  cette durée. On va raisonner comme précédemment et établir que
 En effet, au deuxième essai, la fortune est soit soit avec les probabilités et mais il faut compter un temps de plus également. Les conditions initiales sont  Si l’ajout d’une solution particulière de l’équation avec second membre à la solution générale de l’équation homogène donne :
 Et les conditions initiales imposent :  Si  par passage à la limite on obtiendra :
 C’est une durée beaucoup plus longue que celle qu’on croit généralement. Par exemple, si deux joueurs misent chacun 10 $, à 1 $ la partie, en moyenne il faudra faire cent parties pour que l’un des joueurs soit ruiné. Maintenant, si (un adversaire infiniment riche) et fini, il y a deux cas :
—  alors  ;
—  alors  Là encore le résultat est contre-intuitif. Limites du modèle
En fait, le modèle de Bachelier est très simple ; il considère que le prix d’un actif est somme de ses variations (augmenté de sa valeur initiale, qu’on prendra nulle pour alléger l’écriture). Soit :
 Et donc que sa loi de distribution est donnée par le théorème de la limite centrale (TLC). Soit :  (11)
avec  où  est la variance des accroissements  On retrouve évidemment l’équation 3 avec   et  .
Mais il y a deux limitations fortes à cette approche. La première est que le théorème de la limite centrale est une loi asymptotique, d’autant mieux vérifiée bien sûr que  est grand, mais aussi que est petit. Les queues de distribution ne sont jamais bien reproduites (par exemple dans l’équation (3), peut varier sur tout  même si la variable aléatoire dont elle est la somme est bornée).
La seconde est que le théorème de la limite centrale suppose des hypothèses contraignantes : — les tirages des sont indépendants ;
— ils peuvent obéir à une loi de probabilité quelconque, pourvu que cette loi ait un  fini et constant (loi étroite) ;
— le temps peut être considéré comme une variable continue. Ces trois hypothèses sont mal ou pas vérifiées empiriquement. Dans l’économie réelle, les variations de valeurs peuvent être fortement corrélées10, l’effet « moutonnier » existe (cf. André Orléan, in Les Mathématiques sociales, « Pour aller plus loin »). Empiriquement, ces variations ont des queues de probabilité qui sont plutôt en loi de puissance (  , avec  ) ; ce sont des lois de Lévy (lois larges). Par ailleurs, les temps séparant les achats (et les ventes) peuvent être très brefs (de l’ordre de la seconde peut-être avec l’internet), ils ne sont pas infiniment petits. On a là un problème général souvent sous-estimé : dans les processus dynamiques, le passage en temps continu n’est pas anodin ; il peut même faire disparaître des solutions divergentes.
Le modèle de Black et Scholes (et ses innombrables variantes) est universellement répandu11. C’est une stratégie de portefeuille fondée sur une formule qui est une sophistication du modèle de Bachelier. Par exemple, on considère plutôt la variation relative des actions  donc les distributions des actifs deviennent lognormales :
 Il suffit de changer, dans la gaussienne, en  et donc aussi  en  . Il en conserve néanmoins les trois présupposés mal ou pas confirmés expérimentalement.
Tout cela fait que les queues de distribution prévues par ce genre d’approche sont mauvaises : les événements « anormaux » mais économiquement significatifs sont infiniment trop rares 12. On comparera dans la partie « En pratique » des distributions étroites et larges et on en verra les implications en finances. Bien des amendements ont été depuis portés au modèle de Black et Scholes pour rendre compte des données empiriques. Par exemple, on introduit une « volatilité effective » dépendante du temps qui est une nouvelle variable aléatoire ; c’est elle qui concentre pas mal d’informations manquantes. Pour les développements modernes, voir « Pour aller plus loin » l’article de Benoît Mandelbrot, qui propose l’utilisation des fractales dans les Mathématiques sociales et Bouchaud et Potters dans la Théorie des risques financiers. Conclusion
Dans le rapport de thèse signé par Poincaré, il était – déjà – sagement écrit : « il [Bachelier] s’efforce de fixer les limites dans lesquelles on peut avoir légitimement recours à ce genre de calculs et je ne crois pas qu’il soit dupe de ses formules... ». Traiter par les moyens de la physique statistique les bases de données gigantesques de la finance est une idée captivante. Mais ici comme ailleurs, la beauté, voire la simplicité ou l’élégance d’un modèle, n’est pas un gage de son adéquation.
Hubert KRIVINE
1
Une revue critique et savante de ces tentatives est faite dans le livre de Philip Mirowski dont le titre évocateur en anglais est More Heat than Light, traduit en français par Plus de chaleur que de lumière, Economica, 2001, Paris.
2
Théorie de la spéculation, Annales scientifiques de l’École normale supérieure, 3e série, vol. 17, 1900, p. 21-86. Réédition Jacques Gabay, Paris, 1995.
3
Voir par exemple le site Boursorama(www.boursorama.com/) qui contient de nombreuses données publiques (et non payantes !).
5
« Il semble que le marché, c’est-à-dire l’ensemble des spéculateurs ne doit croire à un instant donné ni à la hausse ni à la baisse, puisque, pour chaque cours coté, il y a autant d’acheteurs que de vendeurs. » in Théorie de la spéculation, op. cit.
6
« On peut admettre que la probabilité d’un écart à partir du cours vrai est indépendante de la valeur absolue de ce cours, et que la courbe des probabilités est symétrique par rapport au cours vrai », Ibidem.
9
À un jeu équitable, on perd donc à coup sûr contre un adversaire infiniment riche (le Casino, par exemple).
10
Ne serait-ce que parce que les spéculateurs utilisent les mêmes modèles mathématiques ! Aussi a-t-on proposé, dans l’intérêt de tous, de les bruiter.
EN PRATIQUE
Physicochimie
Fiche professeur Fiche professeur
Situation
Cet exercice illustre une situation en physicochimie : une particule, animée d’un mouvement brownien, est soumise à une autre action extérieure, la sédimentation.
Exercice
On considère une bille de rayon R (de masse volumique ?B = 1100 kg/m3) dans un bécher rempli d’eau (de masse volumique ?E = 1000kg/m3 et de viscosité ? = 10-3 Pa.s) et on cherche à calculer :
– sa vitesse de sédimentation en régime stationnaire (le régime stationnaire existe à cause du frottement visqueux) ; – sa vitesse de diffusion brownienne. Enfin, on remarque que le mouvement brownien a un effet stabilisant : si la hauteur du bécher est de 10 cm, à quelle condition de taille cette bille ne tombera-t-elle pas au fond du bécher ? Solution
 qui exprime que la gravité + la poussée d’Archimède + la friction visqueuse est nulle en régime stationnaire (sinon, on peut résoudre l’équation avec l’accélération et trouver une forme exponentielle qui tend vers 1 quand t tend vers l’infini). On en déduit 
  On note h la hauteur du bécher : Temps caractéristique pour diffuser sur h :    Application numérique : on trouve que le R maximal pour une stabilité est de l’ordre du micron, donc une suspension de ce type de billes sera stable à condition que ces billes n’excèdent pas le micron. Fiche élève Fiche élève
Situation
Cet exercice illustre une situation en physicochimie : une particule, animée d’un mouvement brownien, est soumise à une autre action extérieure, la sédimentation.
Exercice
On considère une bille de rayon R (de masse volumique ?B = 1100kg/m3) dans un bécher rempli d’eau (de masse volumique ?E = 1000kg/m3 et de
viscosité ? = 10-3Pa.s) et on cherche à calculer : – sa vitesse de sédimentation en régime stationnaire (le régime stationnaire existe à cause du frottement visqueux) ; – sa vitesse de diffusion brownienne. Enfin, on remarque que le mouvement brownien a un effet stabilisant : si la hauteur du bécher est de 10 cm, à quelle condition de taille cette bille ne tombera-t-elle pas au fond du bécher ? Biologie
Fiche professeur Fiche professeur
Situation
Cet exercice illustre une situation en biologie : une particule, animée d’un mouvement brownien, est soumise à une autre action extérieure, la rectification par polymérisation.
Exercice
On considère ici une diffusion à une dimension, dans le cas de la bille brownienne poussée par la croissance d’un filament d’actine. La bille est de rayon a et caractérisée par un coefficient de diffusion D. On note d la taille d’un monomère d’actine.
1. Quel temps Td met la bille à parcourir une distance d par diffusion simple ? 2. On considère qu’un monomère d’actine peut s’insérer dès qu’il a la place disponible. Quel est alors le temps T nécessaire à la bille pour parcourir une distance L>>d ? 3. Quelle est la vitesse nette V de la bille, dans ce modèle, en fonction du coefficient de diffusion de la bille et de d ? Exprimez cette vitesse en fonction de la viscosité du solvant, de la taille de la bille, et de d. 4. Proposez une expérience pour tester la validité de ce modèle. Solution
1.
    4. Faire varier la taille de la bille et voir si le mouvement est moins rapide quand elle est plus grosse. Alternativement, faire varier la viscosité. La température serait aussi possible, mais, en biologie, il faut être prudent car la température modifie aussi les processus biochimiques. Remarque : expérimentalement, ce modèle ne marche pas, et il faut proposer des modèles plus complexes inspirés de celui-ci, qui consistent à prendre en compte le fait que plusieurs filaments agissent ensemble à l’arrière de la bille. Fiche élève Fiche élève
Situation
Cet exercice illustre une situation en biologie : une particule, animée d’un mouvement brownien, est soumise à une autre action extérieure, la rectification par polymérisation.
Exercice
On considère ici une diffusion à une dimension, dans le cas de la bille brownienne poussée par la croissance d’un filament d’actine. La bille est de rayon a et caractérisée par un coefficient de diffusion D. On note d la taille d’un monomère d’actine.
1. Quel temps Td met la bille à parcourir une distance d par diffusion simple? 2. On considère qu’un monomère d’actine peut s’insérer dès qu’il a la place disponible. Quel est alors le temps T nécessaire à la bille pour parcourir une distance L>>d ? 3. Quelle est la vitesse nette V de la bille, dans ce modèle, en fonction du coefficient de diffusion de la bille et de d??? Exprimez cette vitesse en fonction de la viscosité du solvant, de la taille de la bille, et de d. 4. Proposez une expérience pour tester la validité de ce modèle. Mathématiques financières
Fiche professeur Fiche professeur
Niveau
Classes préparatoires scientifiques ou écoles de commerce.
Objectifs
Montrer comment on peut construire un modèle dans une discipline qui n’est pas la physique.
Mettre en garde sur l’importance de la rigueur : le prix à payer en pratique quand les hypothèses de base sont violées. Montrer comment la connaissance des mathématiques permet la résolution de problèmes autres que ceux de robinets ! La partie « Repères » de ce dossier esquisse un peu la philosophie de l’utilisation du mouvement brownien en finances. Elle traite également du problème classique de la ruine des joueurs. Cette fiche rappelle la loi des grands nombres, énonce sans démonstration le théorème de la limite centrale et compare des tirages de variables aléatoires à distribution de probabilité « large » et « étroite ». Prérequis
La méthode, le cheminement et le TD complet se trouvent dans la fiche élève. Fiche élève Fiche élève
Méthode et cheminement
On commencera par quelques rappels de probabilité, puis dans la partie Travaux dirigés, on donnera une démonstration directe du TLC dans un cas particulier. On donnera ensuite l’esquisse de la démonstration de
 qui donne le temps où la probabilité d’une action comprise dans la fourchette  est maximale. Enfin, nous illustrerons les différences de comportements entre des lois étroites et larges et verrons leur implication en finances. Pour ce faire, on montrera comment tirer en pratique une variable aléatoire obéissant à une loi donnée de probabilité.
Rappels de probabilité
Loi des grands nombres
Soit  une variable aléatoire (v.a), de valeur moyenne notée  ou  et de variance  Soit
 la somme de  réalisations de cette variable aléatoire. C’est aussi une variable aléatoire qui a sa valeur moyenne et sa variance. Évidemment  (la valeur moyenne de la somme est la somme des valeurs moyennes). Ensuite :  Et donc :  Quand on prend la valeur moyenne des deux membres de l’équation, il reste  En effet, à cause de l’indépendance des   Sous les hypothèses du théorème, on voit que la variance de la somme croît comme  Si, au lieu de la somme  on avait considéré la moyenne arithmétique  on aurait trouvé une variance  Ce qui signifie que la probabilité que  soit arbitrairement proche de tend vers 1.
La démonstration qui précède aurait évidemment pu se faire avec une variable aléatoire continue. Théorème de la limite centrale (TLC)
Le théorème de la limite centrale va au-delà de la connaissance de la valeur moyenne  et de la variance  de la somme de variables aléatoires (loi des grands nombres). Il en donne une loi de probabilité approchée, à la limite grand.
 (1)
Le théorème de la limite centrale prévoit la même densité de probabilité, gaussienne, quelle que soit la loi de probabilité  des variables dont on fait la somme. C’est un résultat très surprenant. Il explique pourquoi beaucoup de distributions expérimentales sont gaussiennes.
Toute loi de probabilité est valable pourvu qu’elle ait un  fini.
Loi large
Les lois de probabilité n’ont pas toutes une variance finie. C’est la cas, par exemple, de la fonction de Cauchy (lorentzienne, pour les physiciens)  (2)
Elle partage avec la gaussienne la propriété de stabilité. Ce qui signifie que si variables aléatoires ont une densité de probabilité gaussienne (resp. lorentzienne), leur somme aura encore une densité de même type (Pour la gaussienne centrée, il faudra replacer  par  , pour la lorentzienne,  par  ). La fonction de Cauchy est un cas particulier des distributions stables appelées distributions de Lévy. Avec ces distributions (sauf pour le cas très particulier de la gaussienne), les valeurs prises par la variable aléatoire peuvent s’écarter énormément de la valeur moyenne (si elle existe). On a porté sur la figure 1 trois densités centrées de probabilité : une gaussienne et un tirage uniforme d’écart-type  (donc  , voir l’exercice 1) et une densité de Cauchy, donnée par l’équation (2), où  a été choisi pour que cette courbe approche au mieux la gaussienne (au sens du  sur l’intervalle  À l’œil, ces deux dernières courbes ne sont pas très différentes. La figure 2 reproduit un ensemble de 1000 tirages.
Figure 1. Différentes densités de probabilité. Sur ce nombre d’essais, les tirages « uniformes » sont évidemment tous compris entre  ceux de la gaussienne peuvent faire des excursions jusqu’à 4, mais ceux de la distribution de Cauchy peuvent aller jusqu’à – 600.
 Figure 2. Valeur des tirages pour les trois lois de probabilité. (Attention à l’échelle !) La figure 3 teste de la façon suivante le TLC. On a tiré 100 fois une variable aléatoire munie successivement des trois densités précédentes (Cauchy, gaussienne et uniforme). On a porté ensuite les trois histogrammes de  Le TLC prévoit qu’ils devraient ne pas être trop loin de la gaussienne  dessinée en continue. Le résultat est frappant : l’histogramme de est très voisin de la gaussienne pour les deux distributions à variance finie, et très éloignée dans le cas de la distribution de Cauchy.
Figure 3. Test du TLC, de gauche à droite avec des tirages de selon une densité de probabilité de Cauchy, de Gauss et uniforme. Voir à l'exercice 4 (dans le TD ci-après) comment réaliser un tirage de Cauchy avec l’ordinateur. Les cours des actifs seraient plutôt situés entre les densités de Cauchy et de Gauss. On considère actuellement la variance (la volatilité) comme une nouvelle variable aléatoire dont il faut estimer la loi. Travaux dirigés
Tracer d’abord la gaussienne normale (c’est-à-dire centrée et de variance 1) :
 (1)
Tracer plus généralement :  Que se passe-t-il pour les grandes et les petites valeurs de ?
Exercice 1 – Montrer que  et que  Indication : le démontrer dans le cas de la gaussienne normale (considération de symétrie et intégration par parties) puis faire un changement de variable. Définir une distribution uniforme sur un segment qui ait même valeur moyenne et même variance que la distribution (1). Démonstration du TLC dans un cas particulier. La démonstration repose essentiellement sur la formule de Stirling. Elle consiste à approcher  par  puisqu’on peut démontrer que :
 Vérifier la valeur de cette approximation pour différentes valeurs de .
Plaçons-nous maintenant dans le cas particulier de Bachelier (marche aléatoire). Ici  Soit  le nombre de gains,  celui des pertes et  le nombre de transactions. Le gain total (positif ou négatif) est  Appelons  le nombre de chemins issus de l’origine allant au point B de coordonnées  L'axe des  sera aussi appelé l’axe des temps (voir figure 1). Clairement
 C’est en effet le nombre de choix possibles de gains (et donc de pertes) parmi transactions. Le nombre total de chemins de longueur est manifestement  Si l’on suppose tous les chemins équiprobables, la probabilité d’atteindre le point B par un chemin de longueur est  . On va montrer dans l’exercice 2 que
 (2)
Quand  .
On remarquera que le théorème de la limite centrale appliqué à donnerait 
Figure 1. Représentation du gain sn dans une marche aléatoire de n transactions. Exercice 2 – Démontrer la relation (2). Comparer ce résultat à celui du TLC. Indications : on appliquera trois fois la formule de Stirling à  On en prendra le logarithme qu’on développera en prenant  comme petit paramètre.
Le facteur 2 qui apparaît au second membre de la formule 2 tient au fait qu’elle n’est vraie qu’un cas sur deux : quand la parité de est égale à celle de sinon la probabilité est nulle et il faut donc remplacer par 0 une fois sur deux.
Exercice 3 – Démontrer la relation qui donne le temps de probabilité maximale pour que l’actif soit compris entre s1 et s2. Indications : on posera  avec  On intégrera  par parties pour calculer  Remarque : on retrouvera bien par passage à la limite  que  Exercice 4 – Comment simuler un tirage suivant une lorentzienne ? Indication : on considère la fonction de distribution  (C’est la probabilité pour que  ) Calculer la fonction inverse  et la dessiner à partir du graphe de  (voir ci-dessous).
Figure 2 - Fonction  .On a dessiné  .
Soit  le petit domaine de l’axe des  et B son image par  La probabilité que  est la même que  c’est-à-dire :  si  est tiré uniformément sur le segment  C’est la densité de probabilité qu’on voulait. Il suffit donc de tirer aléatoirement la variable aléatoire selon une loi uniforme sur (0,1), ce que pratiquement tous les langages (Fortran, C, Maple) savent faire, calculer le correspondant, le stocker et recommencer.
Exercice 5 - Comment construire l’histogramme d’une variable aléatoire continue ? Indication : supposons que soit une variable aléatoire continue définie sur (0,1). Le programme typique qui fabrique son histogramme peut s’écrire schématiquement ainsi :
1: i:=0; 2: TANTQUE (i<maxtab) FAIRE \\initialise l'histogramme 3: n[i]:=0; 4: FINTANTQUE; 5: tmp_max:=0; 6: TANTQUE (data <> EOF) FAIRE \\data est le fichier de données 7: s:=LIRE(data); 8: i:=NINT(100*s); \\NINT: entier le plus proche 9: SI (tmp_max<i) ALORS tmp_max:=i; 10: n[i]:= n[i]+1; 11: FINTANTQUE; 12: i:=0 ; 13: TANTQUE (i<tmp_max) FAIRE 14: ECRIRE(result,i,n[i]); \\result est le fichier de sortie 15: FINTANTQUE; Le fichier result contient en colonnes les abscisses et ordonnées de l’histogramme. Le 100 qui apparaît en ligne 8 est bien sûr arbitraire ; il caractérisera la finesse de l’histogramme. POINT DOC
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Chimie
Biologie
Bibliographie ALLEN M.P. and TILDESLEY D.J.
Computer Simulation of Liquids Oxford Science Publications, 1987. BOUCHAUD Jean-Philippe « Les caprices des marchés financiers : régularités et turbulences » In Images de la physique, 2002, CNRS. COULET P. ; MONTICELLI M. ; TREINER J. « L’algorithme de Newton-Hooke » Bulletin de l’Union des professeurs de physique et de chimie, n° 861, février 2004. Sommaire du numéro et résumés en ligne http://udppc.asso.fr/ DERRIDA Bernard et BRUNET Éric « Le mouvement brownien et le théorème de fluctuation-dissipation » In Einstein aujourd’hui, EDP Sciences / CNRS, coll. « Savoirs actuels ». Fiche en ligne http://livres.edpsciences.org/ DUPLANTIER Bertrand « Le mouvement brownien, divers et ondoyant » In Einstein 1905-2005, actes du séminaire Poincaré, samedi 9 avril 2005. Textes en ligne http://parthe.lpthe.jussieu.fr/ JARDAT M., BERNARD O., TURQ P., KNELLER G.R. « Transport Coefficients of Electrolyse Solutions from smart Brownian Dynamics Simulations » The Journal of Chemical Physics, 04-22, 1999, vol. 110, n° 16, p. 7993-7999. Site de la revue http://jcp.aip.org/ HANSEN J.P. and McDONALD I.R. Theory of Simple Liquids Academic Press, 1986. KRIVINE Hubert ; LESNE Albert ; TREINER Jacques « Discrete and Continuous-time Modeling : some Bridges and Gaps » Mathematical Structure in Computer Science, Cambridge University Press, 2005. OLYNYK T., JARDAT M., KRULIC and TURQ P. « Transport Coefficients of an Inorganic Brownian Particle in Solution : the Tungstosilicate Anion » Journal of Physical Chemistry B, 105 : 7394, 2001. Site de la revue http://pubs3.acs.org/ COLLECTIF « Théorie de la spéculation » Annales scientifiques de l’école normale supérieure, 3e série, tome 17, 1900, p. 21-86. Réédition Paris, Jacques Gabay, 1995. COLLECTIF « Les mathématiques sociales » Pour la Science, dossier hors série, juillet 1999. À propos Ce dossier présente, dans la collection « Thém@doc », un ensemble de références et de pistes de travail pour répondre aux besoins des programmes de lycée en physique-chimie. Les caractéristiques essentielles que nous souhaitons promouvoir à travers lui tirent parti des potentialités de l'internet :
– il est évolutif ; – il est mutualiste (échanges et capitalisation des données et des méthodes d'enseignement sur ce thème) ; – il instaure des liens avec un monde en constante mutation ; – il est le plus objectif possible avec des données chiffrées issues de sources les plus récentes. Les conditions d'usage de « Thém@doc » précisent l'exploitation de ces dossiers ainsi que les clauses légales relatives à la collection et à chacun des dossiers. Ce dossier a été réalisé par le Service national des productions imprimées et numériques du SCÉRÉN-CNDP. Directeur de publication : Patrick Dion, directeur général. Auteurs Jacques Treiner, professeur de physique à l’université Pierre-et-Marie-Curie, Paris ; Cécile Sykes, directrice de recherche en biologie, Institut Curie/CNRS, Paris ; Hubert Krivine, maître de conférences de mathématiques financières à l’université Pierre-et-Marie-Curie, Paris ; Thierry Olynyk, professeur de chimie à l’IUFM de l’académie de Créteil. Expertise pédagogique Jacques Treiner, président du groupe d'experts sur les programmes scolaires de physique-chimie ; Catherine Bouyssou, professeur de sciences physiques, chef de projet. Crédits photos Les portraits d’Albert Einstein, de Norbert Wiener © akg-images ; le portrait de Robert Brown © Sotheby’s-AKG-images, le portrait de Paul Langevin © AFP ; le portrait d’Adolf Fick © Oxford University Press, 1964 ; Stock Exchange © Cartoon Stock ; Marian von Smoluchowski © 2004-2006 Michel Kosmulski. Photo de l’observation au microscope d’une cellule humaine © The art of MBOC3, 1995, Garland Publishing, inc ; schéma du principe de FRAP © Wikipedia, the free encyclopedia ; schéma du principe de l’assemblage de monomères © Scot Kuo, Hophins University USA. Remerciements à Jacques Treiner, J.-F. Colonna, pour avoir réalisé et envoyé des photographies et des vidéos sur le mouvement brownien ; à Jacques Treiner pour avoir réalisé un schéma de la trajectoire brownienne ; à Thierry Olynyk pour avoir réalisé des schémas de composés ioniques. Documents
Harmoniques Une fonction harmonique possède la propriété suivante : sa valeur en un point de l’espace est égale à la moyenne de ses valeurs sur une sphère quelconque entourant le point considéré :
On peut se faire une représentation intuitive de cette propriété en remarquant qu’à une dimension, une approximation discrétisée de la dérivée seconde s’écrit :  On montre que la réciproque est également vraie : une fonction possédant la propriété (6) est harmonique. Stochastique En élevant au carré l’expression de v(t),
 on obtient :  Lorsque l’on prend la valeur moyenne de cette expression sur un ensemble de réalisations, apparaissent, sous signe intégral, les quantités <F(t)> et <F(t’).F(t’’)>. Compte tenu de l’hypothèse faite sur F(t), le second terme du second membre s’annule. Dans le troisième terme, l’absence de corrélation temporelle sur F (<F(t’).F(t’’)> = A si t’ = t’’, et = 0 si t’ ? t’’) impose t’ = t’’, ce qui permet de se ramener à une intégrale simple :  Thermodynamique Le second principe formalise l’existence d’une flèche du temps : certains processus ne peuvent se dérouler que dans une direction, le processus inverse est impossible. Par exemple, lors d’un échange thermique spontané entre deux corps à des températures différentes, l’énergie passe nécessairement du corps le plus chaud vers le corps le plus froid. Le contraire n’a jamais lieu, alors que cela ne contredirait pas la conservation de l’énergie.
Pourquoi en est-il ainsi ? Un même état macroscopique peut être réalisé par beaucoup de configurations microscopiques. On entend par configuration microscopique une distribution donnée des positions et des vitesses des constituants. Au cours du temps, le système passe par toutes les configurations microscopiques compatibles avec les contraintes externes exercées sur lui. La physique statistique part du postulat que toutes les configurations microscopiques sont équiprobables. Dans ces conditions, la configuration macroscopique observée, la plus probable, est celle qui est réalisée par le maximum de configurations microscopiques. Dans l’exemple ci-dessus, les états macroscopiques avec une température inhomogène sont moins probables que ceux où la température est la même partout, d’où la loi. L’irréversibilité du transfert thermique est interprétée comme l’impossibilité statistique de réaliser spontanément un état peu probable. Compte tenu du grand nombre de constituants, on peut montrer que « état peu probable » signifie qu’il faudrait attendre des temps astronomiquement plus grands que l’âge de l’univers pour avoir une chance de les observer. Il y a plusieurs façons d’énoncer le second principe. L’une d’elles s’exprime ainsi : un cycle monotherme réel ne peut pas être moteur. Autrement dit, il n’est pas possible qu’un système effectue un cycle de transformations dont le bilan, après retour à l’état initial, soit une transformation de chaleur en travail. Robert Feynman propose dans un superbe chapitre de son cours de physique un « dispositif de pensée » qui semble violer ce principe : la roue à cliquet. Il s’agit d’une roue dentée qui, compte tenu de cliquets maintenus par des ressorts, ne peut tourner que dans un sens : sur la figure, dans le sens trigonométrique. Cette roue est située dans une chambre, et son axe de rotation est garni à son autre extrémité de palets, situés dans une autre chambre. Les palets sont soumis au bombardement incessant des molécules qui se trouvent dans la chambre – leur mouvement brownien. En moyenne, il y a autant de chocs sur toutes les faces des palets, si bien qu’il semble qu’aucun mouvement ne peut être induit par ces chocs. Mais cela n’est vrai qu’en moyenne. En réalité, le nombre de chocs fluctue sur chaque face, et lors d’une fluctuation, la résultante des chocs n’est pas nulle : elle peut induire un mouvement de rotation dans un sens ou dans l’autre. Mais comme un seul sens est possible, à cause des cliquets, seules les fluctuations induisant une rotation dans le sens trigonométrique vont avoir un effet : lorsque la fluctuation est d’amplitude suffisante pour laisser passer une dent, les ressorts se soulèvent, puis retombent et les cliquets empêchent le mouvement de retour. On peut donc fixer sur l’axe une poulie, avec une corde et un poids suspendu au bout : la rotation fait monter la masse dans le champ de gravitation. Il suffit d’attendre et de voir monter : on engrange de l’énergie potentielle pour rien. Que réalise ce dispositif ? Tout simplement ce qui est interdit par le second principe : transformer de l’énergie désordonnée, associée au mouvement thermique des molécules, en travail, c’est-à-dire en énergie ordonnée. Cherchez l’erreur ! On peut dire : lors d’une fluctuation dans le bon sens, de l’énergie est transmise de la chambre où se trouvent les palets vers la chambre où se trouve la roue, donc le gaz doit se refroidir. L’ampleur des fluctuations, qui dépend de la température, va donc diminuer, jusqu’à ne plus pouvoir assurer le soulèvement des ressorts et le passage d’une dent. Le mouvement s’arrête. Mais il suffit de relier la chambre aux palets à un thermostat qui maintient la température du gaz constante. Le paradoxe reste entier. Alors ? La solution est la suivante. Lorsque les ressorts retombent depuis le sommet de la dent, il ne faut pas qu’ils rebondissent parce que alors la roue pourrait revenir en arrière. C’est le point crucial. Il doit donc y avoir de la dissipation : l’énergie mécanique des ressorts doit être dissipée sous forme d’ondes acoustiques dans le matériau de la roue et sous forme de frottements divers. Ces effets vont contribuer, à la longue, à augmenter la température de la roue. Or les ressorts eux-mêmes sont des objets macroscopiques soumis à fluctuations : ils sont animés de mouvements browniens ! Vient nécessairement une température où les fluctuations sont suffisamment importantes pour que, de temps en temps, les ressorts se soulèvent spontanément et que les cliquets ne jouent plus leur rôle : la roue peut revenir en sens inverse ! Le résultat de l’analyse détaillée est en fait le suivant : si la température dans la chambre à palets est suffisante pour que les fluctuations des collisions fassent tourner la roue dans un sens, cette température est également suffisante pour que le mouvement brownien des ressorts autorise avec la même fréquence des retours en arrière. Nous renvoyons le lecteur à la lecture du chapitre de Feynman pour un calcul quantitatif. Pour que le système fonctionne comme un moteur, il faut donc maintenir un déséquilibre de température entre les deux chambres : T1 doit être supérieure à T2. Mais dans ce cas, on se retrouve en présence d’une machine thermique fonctionnant entre deux thermostats, et il n’y a plus de paradoxe. On peut d’ailleurs montrer que le rendement de cette machine est bien donné par l’expression 1-T2/T1. Ouf ! Carnot est sauf… Ce que nous apprend l’article de Cécile Sykes, c’est que les systèmes biologiques sont capables de maintenir de tels déséquilibres, et par conséquent de faire fonctionner des moteurs à partir du mouvement brownien d’éléments dans la cellule. Une trajectoire brownienne
La dynamique brownienne
La périodisation
La solvatation
Une cellule humaine
Mécanisme de l’assemblage de monomères à une extrémité d’un polymère
Le FRAP
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