| Le mouvement brownien tous azimuts |
Lycée
Classes préparatoires
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Fiche professeur
Situation
Cet exercice illustre une situation en physicochimie : une particule, animée d’un mouvement brownien, est soumise à une autre action extérieure, la sédimentation.
Exercice
On considère une bille de rayon R (de masse volumique ρB = 1100 kg/m3) dans un bécher rempli d’eau (de masse volumique ρE = 1000kg/m3 et de viscosité η = 10-3 Pa.s) et on cherche à calculer :
– sa vitesse de sédimentation en régime stationnaire (le régime stationnaire existe à cause du frottement visqueux) ;
– sa vitesse de diffusion brownienne.
Enfin, on remarque que le mouvement brownien a un effet stabilisant : si la hauteur du bécher est de 10 cm, à quelle condition de taille cette bille ne tombera-t-elle pas au fond du bécher ?
Solution
- Vitesse de sédimentation donnée par l’équation du mouvement :
qui exprime que la gravité + la poussée d’Archimède + la friction visqueuse est nulle en régime stationnaire (sinon, on peut résoudre l’équation avec l’accélération et trouver une forme exponentielle qui tend vers 1 quand t tend vers l’infini).
On en déduit
- Vitesse de diffusion brownienne donnée par la dérivée de
avec
d'où
Ensuite :
On note h la hauteur du bécher :
Temps caractéristique pour diffuser sur h :
Temps caractéristique pour sédimenter sur h :
La bille gardera une hauteur stable (grâce au mouvement brownien) si tD < tS, ce qui donne
On remarque que ce résultat est indépendant de la viscosité de l’eau qui constitue le milieu extérieur !
Application numérique : on trouve que le R maximal pour une stabilité est de l’ordre du micron, donc une suspension de ce type de billes sera stable à condition que ces billes n’excèdent pas le micron.
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