| La radioactivité au quotidien |
Lycée
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Activité en cours de physique
La résolution numérique d'une équation différentielle par la méthode d'Euler est basée sur un calcul itératif à partir de :
- l'équation différentielle, ici :
 relation (1)
- la relation d'Euler qui est la définition de la dérivée d'une fonction lorsque le pas du calcul Δt tend vers 0 avec tn+1 = tn + Δt :
 relation (2) Réalisation manuelle à la calculatrice (comprendre le principe)
Étape 1
En partant de N(0) = N0 connue (c'est indispensable), on calcule N'(0) grâce à la relation (1) à condition de connaître la constante radioactive λ.
Décroissance du Radon 222 dont la demi-vie est t1/2 = 3,85 jours. Le nombre de noyaux est choisi égal à 106. On calcule la constante radioactive :
λ = (ln2) / (3,85) jour -1 = 0,1800382287.
N' (0) = - λ × N (0) = - [(ln2) / (3,85) ] × 106 = - 1,800382287×105
(L'écriture des résultats devrait tenir compte des chiffres significatifs, mais il faut conserver tous les chiffres pour le calcul avec la calculatrice même ceux non affichés, sans arrondir les résultats intermédiaires).
Étape 2
Connaissant N (0) = N0, N' (0) calculée à l'étape (1) et se fixant Δt (petit) on calcule N(t1) grâce à la relation (2) avec t1 = Δt.
On choisit un pas de calcul par exemple égal à la demi-vie divisée par 10, soit 0,385 jour.
N (t1) = 106 - 1,800382287…×105 × 0,385 = 9,306852819 × 105
Étape 3
Connaissant N (t1) calculée à l'étape (2), on calcule N' (t1) grâce à la relation (1).
Cette étape est identique à l'étape 1
N' (t1) = - λ × N (t1) = - [(ln2) / (3,85) ] × 9,306852819 × 105 = - 1,675589297 × 105
Étape 4
Connaissant N (t1) et N' (t1) à la date t1, la relation (2) permet de calculer N (t2) à l'instant de date t2 = t1 + Δt et ainsi de suite.
Cette étape est identique à l'étape 2
N(t2) = 9,306852819×105 - 1,675589297 × 105…× 0,385 = 8,66175094 × 105
Réalisation avec tableur
La façon de calculer d'un tableur est illustrée sur quelques exemples, avec surtout la distinction entre les références des cellules absolues ou les références relatives.
(Le professeur fait une démonstration avec les cas les plus simples, puis explique le début du calcul de la feuille et montre la façon d'écrire les formules.)
Les élèves, selon le temps disponible, réalisent les trois premières lignes pour retrouver les résultats calculés à la main puis ensuite utilisent la feuille préparée pour tester la méthode.
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1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
Décroissance du Radon 222 |
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2 |
La seule valeur modifiable est la valeur de x |
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3 |
t1/2 en jour = |
3,85 |
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4 |
N (0) = |
1000000 |
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5 |
λ= |
=LN (2)/L3C2 |
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6 |
x = |
10 |
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7 |
pas de calcul = |
demi-vie / x = |
=L3C2/L6C2 |
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8 |
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9 |
t |
N (Euler) |
N' |
N (fonction) |
10 |
0 |
=L4C2 |
=-L5C2*LC (-1) |
=L4C2*EXP (-L5C2*LC(-3)) |
11 |
=L (-1)C+L7C3 |
=L(-1)C2+L(-1)C(1)*L7C3 |
=-L5C2*LC (-1) |
=L4C2*EXP (-L5C2*LC(-3)) |
12 |
=L (-1)C+L7C3 |
=L (-1)C2+L(-1)C(1)*L7C3 |
=-L5C2*LC (-1) |
=L4C2*EXP (-L5C2*L C(-3)) |
La seule valeur modifiable est la valeur de x
t1/2 en jour = 3,85
N(0) = 1,00E+06
λ = 0,180038229
x = 10
pas de calcul = demi-vie/x = 0,385
t |
N (Euler) |
N' |
N (fonction) |
0 |
1,00E+06 |
1,80E+05 |
1000000 |
0,385 |
9,31E+05 |
1,68E+05 |
933032,992 |
0,77 |
8,66E+05 |
1,56E+05 |
870550,563 |
1,155 |
8,06E+05 |
1,45E+05 |
812252,396 |
1,54 |
7,50E+05 |
1,35E+05 |
757858,283 |
1,925 |
6,98E+05 |
1,26E+05 |
707106,781 |
2,31 |
6,50E+05 |
1,17E+05 |
659753,955 |
2,695 |
6,05E+05 |
1,09E+05 |
615572,207 |
3,08 |
5,63E+05 |
1,01E+05 |
574349,177 |
3,465 |
5,24E+05 |
9,43E+04 |
535886,731 |
3,85 |
4,88E+05 |
8,78E+04 |
500000 |
4,235 |
4,54E+05 |
8,17E+04 |
466516,496 |
4,62 |
4,22E+05 |
7,60E+04 |
435275,282 |
5,005 |
3,93E+05 |
7,08E+04 |
406126,198 |
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On constate une bonne qualité de résolution lorsque le pas du calcul est suffisamment petit devant la demi-vie du phénomène.
Avantage de cette méthode
Elle permet de tracer numériquement l'évolution du nombre de noyaux et d'obtenir des valeurs numériques même si l’on ne sait pas résoudre l'équation différentielle (et même s'il n'y a pas de solution analytique).
Cette méthode (ou d'autres plus élaborées) est utilisée chaque fois que l'on dispose d'une équation différentielle, avec les conditions initiales.
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