| La radioactivité au quotidien |
Lycée
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Fiche professeur
Objectifs
On cherche ici à déterminer l’allure du graphe représentant l’évolution d’une population de noyaux radioactifs au cours du temps.
Travaux pratiques
Préliminaire : le lancer de dés
Un tyran fou décide de la mort des individus du royaume en jouant aux dés à 6 faces : tous les matins, il fait lancer autant de dés que de personnes restantes. Chaque fois que le chiffre "3" sort, l'individu qui a lancé le dé est éliminé.
Protocole
La population contient au départ N0 = 100 individus.
Il faut lancer au départ N0 = 100 dés. Chaque élève lance 5 à 6 dés puis on totalise les "3" qui sont sortis et on en déduit le nombre de dés N (d’individus) restant à t +"Δt". On considère que chaque nouveau lancer correspond à une nouvelle date, "Δt" correspondant à une unité soit ici un jour.
On enlève du jeu les dés ayant sorti un "3" et on recommence une quinzaine de fois.
Questions
Tracer le graphe de N = f (t).
Modéliser N (t) par une fonction exponentielle en utilisant un logiciel de traitement des données, et en tenant compte des données initiales.
Abscisse |
N(t) |
(u) |
(nb) |
t |
N |
0 |
100,E + 00 |
1 |
88,0E + 00 |
2 |
73,0E + 00 |
3 |
63,0E + 00 |
4 |
59,0E + 00 |
5 |
46,0E + 00 |
6 |
38,0E + 00 |
7 |
31,0E + 00 |
8 |
27,0E + 00 |
9 |
23,0E + 00 |
10 |
18,0E + 00 |
11 |
15,0E + 00 |
12 |
13,0E + 00 |
13 |
12,0E + 00 |
14 |
10,0E + 00 |
15 |
9,00E + 00 |
 Exemple de résultat |
La modélisation par une fonction exponentielle donne :  avec k = 0,160.
Si p est la probabilité de sortir un 3 pour l'individu, le dé ayant 6 faces, cette probabilité p est égale à 1/6.
Ainsi entre les dates t et t + Δt, p × N (t) représente le nombre d'évènements qui "doivent" se produire. Il restera à cette date :
N (t + Δt) = N (t) – p × N (t) = N (t) × (1 – p).
Dans notre exemple, N0 = 100, Δt = 1 jour et p = 1/6.
Le résultat précédent donne :
N (t + 1) = N (t) – 1/6 ×N (t) = N (t) × (5/6).
Si N (t + 1) = 100×e – k (t + 1) = N (t) × e – k, on en déduit que e – k = 5/6 soit k = 0,18.
Le résultat obtenu est assez éloigné de cette valeur car le nombre initial n'est pas assez grand.
Une simulation
Le programme Rad2.exe (qui se trouve dans le cédérom d’accompagnement des programmes de terminale de physique-chimie) génère des nombres aléatoires (par exemple ni à la date ti) pendant l'intervalle de temps choisi Δt. L'activité est calculée par ni / Δt. Le nombre de noyaux à l'instant t + Δt est N (ti) - ni .
Description de la manipulation
- Lancer le programme Rad2.
- Observer la forme prise par les résultats de la simulation.
Question
Quelles constatations peut-on faire à partir des résultats graphiques donnés par la simulation ?
 Exemples de résultats de la simulation |
 Exemples de résultats de la simulation |
On constate :
- L'allure exponentielle de la décroissance du nombre de noyaux.
- L'allure également exponentielle de l'activité, mais beaucoup plus bruitée (on représente dN / dt soit λ × N, beaucoup plus petit que N et ainsi l'échelle choisie a un effet de zoom par rapport à la première courbe).
- La loi de proportionnalité entre l'activité A et N, avec comme coefficient de proportionnalité : - λ
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